Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1035 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) x³ + y³ + 2xy(x+y);
б) x³ — y³ — 5x(x²+xy+y²);
в) 2b³ +a(a²-3b²);
г) p² — 2p² + 2p – 1;
д) 8b³ +6b² + 3b + 1;
е) a³ — 4a² + 20a – 125.
a) х³ + у³ + 2ху(х+у) = (х+у)(х²–ху+у²) + 2ху(х+у) = (х+у)(х²–ху+у²+2ху) = (х+у)(х²+ху+у²)
б) х³ – у³ – 5х(х²+ху+у²) = (х-у)(х²+ху+у²) – 5х(х²+ху+у²) = (х–у–5х)(х²+ху+у²) = (-у–4х)(х²+ху+у²) = — (у+4х)(х²+ху+у²)
в) 2b³ + a(a²–3b²) = 2b³ + a³ – 3ab² = a³ – b³ + 3b² – 3ab² = (a³–b³) + (3b²–3ab²) = (a–b)(a²+ab+b²) — 3b²(b-a) = (a–b)(a²+ab+b²-3b²) = (a–b)(a²+ab-2b²)
г) р³ – 2р² + 2р – 1 = (р³–1) + (-2р²+2р) = (р–1)(р²+р+1) – 2р(р–1) = (р–1)(р²+р+1–2р) = (р–1)(р²–р+1)
д) 8b³ + 6b² + 3b + 1 = (8b³+1) + (6b²+3b) = (2b+1)(4b²–2b+1) + 3b(2b+1) = (2b+1)(4b²–2b+1+3b) = (2b+1)(4b²+b+1)
е) а³ – 4а² + 20а – 125 = (а³–125) + (-4а²+20а) = (а–5)(а²+5а+25) – 4а(а-5) = (а–5)(а²+5а+25–4а)= (а–5)(а²+а+25)
а) x³ + y³ + 2xy(x + y)
Уравнение: \(x³ + y³ + 2xy(x + y)\)
1. Заметим, что \(x³ + y³\) — это сумма кубов: \(x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²)\).
2. Перепишем уравнение: \((x + y)(x² — xy + y²) + 2xy(x + y)\).
3. Вынесем общий множитель \((x + y)\): \((x + y)((x² — xy + y²) + 2xy)\).
4. Упростим выражение в скобках: \(x² — xy + y² + 2xy = x² + xy + y²\).
Ответ: \((x + y)(x² + xy + y²)\).
б) x³ — y³ — 5x(x² + xy + y²)
Уравнение: \(x³ — y³ — 5x(x² + xy + y²)\)
1. Заметим, что \(x³ — y³\) — это разность кубов: \(x³ — y³ = (x — y)(x² + xy + y²)\).
2. Перепишем уравнение: \((x — y)(x² + xy + y²) — 5x(x² + xy + y²)\).
3. Вынесем общий множитель \((x² + xy + y²)\): \((x² + xy + y²)((x — y) — 5x)\).
4. Упростим выражение в скобках: \((x — y) — 5x = -4x — y\).
Ответ: \((x² + xy + y²)(-4x — y)\).
в) 2b³ + a(a² — 3b²)
Уравнение: \(2b³ + a(a² — 3b²)\)
1. Раскроем скобки: \(2b³ + a³ — 3ab²\).
2. Группируем: \((2b³ — 3ab²) + a³\).
3. Вынесем общий множитель из первой группы: \(b²(2b — 3a) + a³\).
4. Заметим, что это не упрощается дальше.
Ответ: \(b²(2b — 3a) + a³\).
г) p² — 2p² + 2p — 1
Уравнение: \(p² — 2p² + 2p — 1\)
1. Упростим \(p² — 2p²\): \(-p² + 2p — 1\).
2. Группируем: \(-p(p — 2) — 1\).
3. Вынесем общий множитель: \(-(p(p — 2) + 1)\).
Ответ: \(-(p(p — 2) + 1)\).
д) 8b³ + 6b² + 3b + 1
Уравнение: \(8b³ + 6b² + 3b + 1\)
1. Группируем: \((8b³ + 6b²) + (3b + 1)\).
2. Вынесем общий множитель из первой группы: \(2b²(4b + 3)\).
3. Вынесем общий множитель из второй группы: \(1(3b + 1)\).
4. Перепишем: \((2b² + 1)(4b + 3)\).
Ответ: \((2b² + 1)(4b + 3)\).
е) a³ — 4a² + 20a — 125
Уравнение: \(a³ — 4a² + 20a — 125\)
1. Заметим, что это многочлен третьей степени. Попробуем разложить методом группировки.
2. Группируем: \((a³ — 4a²) + (20a — 125)\).
3. Вынесем общий множитель из первой группы: \(a²(a — 4)\).
4. Вынесем общий множитель из второй группы: \(5(4a — 25)\).
5. Проверим и уточним. Это куб суммы: \(a³ — 4a² + 20a — 125 = (a — 5)(a² + 5a + 25)\).
Ответ: \((a — 5)(a² + 5a + 25)\).
Алгебра
