Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1035 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) x³ + y³ + 2xy(x+y);
б) x³ — y³ — 5x(x²+xy+y²);
в) 2b³ +a(a²-3b²);
г) p² — 2p² + 2p – 1;
д) 8b³ +6b² + 3b + 1;
е) a³ — 4a² + 20a – 125.
a) \(x^3 + y^3 + 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 — xy + y^2) + 2xy(x + y) =\)
\((x + y)(x^2 — xy + y^2 + 2xy) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)\)
б) \(x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2) = (x — y)(x^2 + xy + y^2) -\)
\(5x(x^2 + xy + y^2) = (x^2 + xy + y^2)(x — y — 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x — y)\)
в) \(2b^3 + a(2 — 3b^2) = 2b^3 + a^3 — 3ab^2 = a^3 — b^3 + 3b^3 -\)
\(3ab^2 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) — 3b^2(a — b) = (a — b)(a^2 + ab +\)
\(b^2 — 3b^2) = (a — b)(a^2 + ab — 2b^2)\)
г) \(p^3 — 2p^2 + 2p + 1 = (p^3 — 1) — 2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1) -\)
\(2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1 — 2p) = (p — 1)(p^2 — p + 1)\)
д) \(8b^3 + 6b^2 + 3b + 1 = (8b^3 + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b^2 -\)
\(2b + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1 + 3b) = (2b + 1)(4b^2 + b + 1)\)
е) \(a^3 — 4a^2 — 20a — 125 = (a^3 — 125) — 4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a + 25) -\)
\(4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a + 25 — 4a) = (a — 5)(a^2 + a + 25)\)
а) \( x^3 + y^3 + 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 — xy + y^2) + 2xy(x + y) =\)
\((x + y)(x^2 — xy + y^2 + 2xy) = (x + y)(x^2 + xy + y^2) \)
Шаг 1: Начнем с выражения \( x^3 + y^3 + 2xy(x + y) \). Используем формулу суммы кубов:
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2) \).
Шаг 2: Прибавляем \( 2xy(x + y) \):
\( (x + y)(x^2 — xy + y^2) + 2xy(x + y) \).
Шаг 3: Выносим общий множитель \( (x + y) \):
\( (x + y)(x^2 — xy + y^2 + 2xy) \).
Шаг 4: Упрощаем выражение внутри скобок:
\( x^2 — xy + y^2 + 2xy = x^2 + xy + y^2 \).
Шаг 5: Получаем итоговое выражение:
\( (x + y)(x^2 + xy + y^2) \).
Ответ: Выражение верно, так как правая часть уравнения является разложением суммы кубов.
б) \( x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2) = (x — y)(x^2 + xy + y^2) — 5x(x^2 + xy + y^2) =\)
\((x^2 + xy + y^2)(x — y — 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x — y) \)
Шаг 1: Рассмотрим левую часть уравнения \( x^3 — y^3 — 5x(x^2 + xy + y^2) \).
Шаг 2: Применяем формулу разности кубов:
\( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \),
и добавляем \( — 5x(x^2 + xy + y^2) \):
\( (x — y)(x^2 + xy + y^2) — 5x(x^2 + xy + y^2) \).
Шаг 3: Выносим общий множитель \( (x^2 + xy + y^2) \):
\( (x^2 + xy + y^2)(x — y — 5x) \).
Шаг 4: Упрощаем выражение в скобках:
\( x — y — 5x = -4x — y \),
что дает:
\( (x^2 + xy + y^2)(-4x — y) \).
Ответ: Выражение верно, так как мы правильно применили формулы разности кубов и выноса общего множителя.
в) \( 2b^3 + a(2 — 3b^2) = 2b^3 + a^3 — 3ab^2 = a^3 — b^3 + 3b^3 — 3ab^2 =\)
\( (a — b)(a^2 + ab + b^2) — 3b^2(a — b) = (a — b)(a^2 +\)
\(ab + b^2 — 3b^2) = (a — b)(a^2 + ab — 2b^2) \)
Шаг 1: Раскроем выражение \( 2b^3 + a(2 — 3b^2) \):
\( 2b^3 + a(2 — 3b^2) = 2b^3 + a^3 — 3ab^2 \).
Шаг 2: Перепишем \( 2b^3 + a^3 — 3ab^2 \) как разность кубов:
\( a^3 — b^3 + 3b^3 — 3ab^2 \).
Шаг 3: Разделим на два слагаемых:
\( (a^3 — b^3) + (3b^3 — 3ab^2) \).
Шаг 4: Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \),
и разложим второе слагаемое:
\( 3b^3 — 3ab^2 = 3b^2(b — a) \).
Шаг 5: Объединяем выражения:
\( (a — b)(a^2 + ab + b^2) — 3b^2(b — a) \).
Шаг 6: Преобразуем второй множитель:
\( (a — b)(a^2 + ab + b^2 — 3b^2) \).
Шаг 7: Упрощаем выражение в скобках:
\( (a — b)(a^2 + ab — 2b^2) \).
Ответ: Выражение верно, и мы пришли к правильному виду.
г) \( p^3 — 2p^2 + 2p + 1 = (p^3 — 1) — 2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1) -\)
\(2p(p — 1) = (p — 1)(p^2 + p + 1 — 2p) = (p — 1)(p^2 — p + 1) \)
Шаг 1: Раскроем выражение \( p^3 — 2p^2 + 2p + 1 \):
\( p^3 — 2p^2 + 2p + 1 = (p^3 — 1) — 2p(p — 1) \).
Шаг 2: Применяем формулу разности кубов:
\( p^3 — 1 = (p — 1)(p^2 + p + 1) \),
и выносим \( -2p \):
\( -2p(p — 1) \).
Шаг 3: Собираем все выражения:
\( (p — 1)(p^2 + p + 1 — 2p) \).
Шаг 4: Упрощаем выражение в скобках:
\( (p — 1)(p^2 — p + 1) \).
Ответ: Выражение верно, и мы пришли к правильному виду.
д) \( 8b^3 + 6b^2 + 3b + 1 = (8b^3 + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b^2 -\)
\(2b + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1 + 3b) = (2b + 1)(4b^2 + b + 1) \)
Шаг 1: Начнем с левой части уравнения \( 8b^3 + 6b^2 + 3b + 1 \).
Шаг 2: Разбиваем выражение на два слагаемых:
\( (8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b) \).
Шаг 3: Применяем разложение для \( 8b^3 + 1 \):
\( 8b^3 + 1 = (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1) \).
Шаг 4: Выносим \( 3b \) из второго слагаемого:
\( 3b(2b + 1) \).
Шаг 5: Собираем все выражения:
\( (2b + 1)(4b^2 — 2b + 1 + 3b) \).
Шаг 6: Упрощаем выражение в скобках:
\((2b + 1)(4b^2 + b + 1)\).
Ответ: Выражение верно, и мы пришли к правильному виду.
е) \( a^3 — 4a^2 — 20a — 125 = (a^3 — 125) — 4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a +\)
\(25) — 4a(a — 5) = (a — 5)(a^2 + 5a + 25 — 4a) = (a — 5)(a^2 + a + 25) \)
Шаг 1: Начнем с левой части уравнения \( a^3 — 4a^2 — 20a — 125 \).
Шаг 2: Разбиваем выражение на два слагаемых:
\( (a^3 — 125) + (-4a^2 + 20a) \).
Шаг 3: Применяем разложение для \( a^3 — 125 \):
\( a^3 — 125 = (a — 5)(a^2 + 5a + 25) \).
Шаг 4: Выносим \( -4a \) из второго слагаемого:
\( -4a(a — 5) \).
Шаг 5: Собираем все выражения:
\( (a — 5)(a^2 + 5a + 25 — 4a) \).
Шаг 6: Упрощаем выражение в скобках:
\( (a — 5)(a^2 + a + 25)\)\).
Ответ: Выражение верно, и мы пришли к правильному виду.
Алгебра
