Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1017 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) (а+b)²(a-b) – 2ab(b-a) – 6ab(a-b) = (a-b)³;
б) (a+b)(a-b)² + 2ab(a+b) – 2ab(-a-b) = (a+b)³.
а)
\( (a + b)^2(a — b) — 2ab(b — a) — 6ab(a — b) = (a — b)^3 \)
\( (a + b)^2(a — b) + 2ab(a — b) — 6ab(a — b) = (a — b)^3 \)
\( (a — b)((a + b)^2 + 2ab — 6ab) = (a — b)^3 \)
\( (a — b)(a^2 + 2ab + b^2 — 4ab) = (a — b)^3 \)
\( (a — b)(a^2 — 2ab + b^2) = (a — b)^3 \)
\( (a — b)(a — b)^2 = (a — b)^3 \)
\( (a — b)^3 = (a — b)^3 \) — верно.
б)
\( (a + b)(a — b)^2 + 2ab(a + b) — 2ab(-a — b) = (a + b)^3 \)
\( (a + b)(a — b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)^3 \)
\( (a + b)((a — b)^2 + 2ab + 2ab) = (a + b)^3 \)
\( (a + b)(a^2 — 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b)^3 \)
\( (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^3 \)
\( (a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3 \)
\( (a + b)^3 = (a + b)^3 \) — верно.
а) Доказательство тождества:
(а+b)²(a-b) – 2ab(b-a) – 6ab(a-b) = (a-b)³
Шаг 1: Раскрытие скобок
Раскроем каждую часть выражения:
- \( (a+b)^2(a-b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a-b) =\)
- \(a^3 — a^2b + 2a^2b — 2ab^2 + ab^2 — b^3 \)
- \( -2ab(b-a) = -2ab(-a+b) = 2a^2b — 2ab^2 \)
- \( -6ab(a-b) = -6ab(a-b) = -6a^2b + 6ab^2 \)
Шаг 2: Сложение всех частей
Объединим полученные результаты:
\( a^3 — a^2b + 2a^2b — 2ab^2 + ab^2 — b^3 + 2a^2b — 2ab^2 — 6a^2b + 6ab^2 \)
Сгруппируем подобные члены:
\( a^3 + (-a^2b + 2a^2b + 2a^2b — 6a^2b) + (-2ab^2 + ab^2 — 2ab^2 + 6ab^2) — b^3 \)
\( a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \)
Шаг 3: Преобразование
Заметим, что это выражение можно представить как:
\( (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 \).
Таким образом, доказано, что:
(а+b)²(a-b) – 2ab(b-a) – 6ab(a-b) = (a-b)³
б) Доказательство тождества:
(a+b)(a-b)² + 2ab(a+b) – 2ab(-a-b) = (a+b)³
Шаг 1: Раскрытие скобок
Раскроем каждую часть выражения:
- \( (a+b)(a-b)^2 = (a+b)(a^2 — 2ab + b^2) =\)
- \(a^3 — 2a^2b + ab^2 + a^2b — 2ab^2 + b^3 \)
- \( 2ab(a+b) = 2ab(a+b) = 2a^2b + 2ab^2 \)
- \( -2ab(-a-b) = -2ab(-a-b) = 2a^2b + 2ab^2 \)
Шаг 2: Сложение всех частей
Объединим полученные результаты:
\( a^3 — 2a^2b + ab^2 + a^2b — 2ab^2 + b^3 + 2a^2b + 2ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 \)
Сгруппируем подобные члены:
\( a^3 + (-2a^2b + a^2b + 2a^2b + 2a^2b) + (ab^2 — 2ab^2 + 2ab^2 + 2ab^2) + b^3 \)
\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Шаг 3: Преобразование
Заметим, что это выражение можно представить как:
\( (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 \).
Таким образом, доказано, что:
(a+b)(a-b)² + 2ab(a+b) – 2ab(-a-b) = (a+b)³
Алгебра
