Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1003 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения:
а) \( \frac{27}{64} — y^{12} \);
б) \( -x^{15} + \frac{1}{27} \);
в) \( \frac{3}{8}a^{15} + b^{12} \);
г) \( \frac{61}{54}x^{18} + y^3 \).
а)
\( \frac{27}{64} — y^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 — \left(y^4\right)^3 = \left(\frac{3}{4} — y^4\right)\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + \left(y^4\right)^2\right) = \)
\( = \left(\frac{3}{4} — y^4\right)\left(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8\right) \)
б)
\( -x^{15} + \frac{1}{27} = -x^{15} + \frac{1}{27} = \left(-\frac{1}{3} — x^5\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} \cdot x^5 + \left(x^5\right)^2\right) = \)
\( = \left(-\frac{1}{3} — x^5\right)\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10}\right) \)
в)
\( 3a^{15} + b^{12} = \frac{27}{8}a^{15} + b^{12} = \left(\frac{3a^5}{2}\right)^3 + \left(b^4\right)^3 = \)
\( = \left(\frac{3a^5}{2} + b^4\right)\left(\left(\frac{3a^5}{2}\right)^2 — \frac{3a^5}{2} \cdot b^4 + b^8\right) = \)
\( = \left(\frac{3a^5}{2} + b^4\right)\left(\frac{9a^{10}}{4} — \frac{3a^5b^4}{2} + b^8\right) \)
г)
\( \frac{61}{64}x^{18} + y^3 = \frac{125}{16}x^{12} + y^3 = \left(\frac{5x^6}{4}\right)^3 + y^3 = \)
\( = \left(\frac{5x^6}{4} + y\right)\left(\left(\frac{5x^6}{4}\right)^2 — \frac{5x^6}{4} \cdot y + y^2\right) = \)
\( = \left(\frac{5x^6}{4} + y\right)\left(\frac{25x^{12}}{16} — \frac{5x^6y}{4} + y^2\right) \)
а) \( \frac{27}{64} — y^{12} \)
Разложим выражение по формуле разности кубов:
\( \frac{27}{64} — y^{12} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 — \left(y^4\right)^3 \)
По формуле разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
Подставляя значения:
\( \frac{27}{64} — y^{12} = \left(\frac{3}{4} — y^4\right)\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + \left(y^4\right)^2\right) \)
Упрощаем:
\( \frac{27}{64} — y^{12} = \left(\frac{3}{4} — y^4\right)\left(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8\right) \)
б) \( -x^{15} + \frac{1}{27} \)
Разложим выражение по формуле суммы кубов:
\( -x^{15} + \frac{1}{27} = -\left(x^5\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 \)
По формуле суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляя значения:
\( -x^{15} + \frac{1}{27} = \left(-x^5 + \frac{1}{3}\right)\left(\left(x^5\right)^2 + x^5 \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) \)
Упрощаем:
\( -x^{15} + \frac{1}{27} = \left(-x^5 + \frac{1}{3}\right)\left(x^{10} + \frac{x^5}{3} + \frac{1}{9}\right) \)
в) \( \frac{3}{8}a^{15} + b^{12} \)
Разложим выражение по формуле суммы кубов:
\( \frac{3}{8}a^{15} + b^{12} = \left(\frac{3a^5}{2}\right)^3 + \left(b^4\right)^3 \)
По формуле суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляя значения:
\( \frac{3}{8}a^{15} + b^{12} = \left(\frac{3a^5}{2} + b^4\right)\left(\left(\frac{3a^5}{2}\right)^2 — \frac{3a^5}{2} \cdot b^4 + \left(b^4\right)^2\right) \)
Упрощаем:
\( \frac{3}{8}a^{15} + b^{12} = \left(\frac{3a^5}{2} + b^4\right)\left(\frac{9a^{10}}{4} — \frac{3a^5b^4}{2} + b^8\right) \)
г) \( \frac{61}{54}x^{18} + y^3 \)
Разложим выражение по формуле суммы кубов:
\( \frac{61}{54}x^{18} + y^3 = \left(\frac{5x^6}{4}\right)^3 + y^3 \)
По формуле суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляя значения:
\( \frac{61}{54}x^{18} + y^3 = \left(\frac{5x^6}{4} + y\right)\left(\left(\frac{5x^6}{4}\right)^2 — \frac{5x^6}{4} \cdot y + y^2\right) \)
Упрощаем:
\( \frac{61}{54}x^{18} + y^3 = \left(\frac{5x^6}{4} + y\right)\left(\frac{25x^{12}}{16} — \frac{5x^6y}{4} + y^2\right) \)
Алгебра
