Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1000 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
а) (n + 1)2 − (n − 1)2 делится на 4;
б) (2n + 3)2 − (2n − 1)2 делится на 8;
в) (3n + 1)2 − (3n − 1)2 делится на 12;
г) (5n + 1)2 − (2n − 1)2 делится на 7.
а)
\((n + 1)^2 — (n — 1)^2 = n^2 + 2n + 1 — (n^2 — 2n + 1)\)
\(\Rightarrow n^2 + 2n + 1 — n^2 + 2n — 1 = 4n\).
Так как множитель \(4\) делится на \(4\), то и значение выражения делится на \(4\).
б)
\((2n + 3)^2 — (2n — 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 3 + 3^2 — ((2n)^2 — 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2)\)
\(\Rightarrow 4n^2 + 12n + 9 — 4n^2 + 4n — 1 = 16n + 8 = 8(2n + 1)\).
Так как множитель \(8\) делится на \(8\), то и значение выражения делится на \(8\).
в)
\((3n + 1)^2 — (3n — 1)^2 = (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 1 + 1^2 — ((3n)^2 — 2 \cdot 3n \cdot 1 + 1^2)\)
\(\Rightarrow 9n^2 + 6n + 1 — 9n^2 + 6n — 1 = 12n\).
Так как множитель \(12\) делится на \(12\), то и значение выражения делится на \(12\).
г)
\((5n + 1)^2 — (2n — 1)^2 = (5n)^2 + 2 \cdot 5n \cdot 1 + 1^2 — ((2n)^2 — 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2)\)
\(\Rightarrow 25n^2 + 10n + 1 — 4n^2 + 4n — 1 = 21n^2 + 14n = 7n(3n + 2)\).
Так как множитель \(7\) делится на \(7\), то и значение выражения делится на \(7\).
а) \((n + 1)^2 − (n − 1)^2\) делится на 4
Раскроем скобки:
- \((n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1\)
- \((n − 1)^2 = n^2 − 2n + 1\)
Подставим в выражение:
\((n + 1)^2 − (n − 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) − (n^2 − 2n + 1)\)
Выполним вычисления:
- \(n^2 + 2n + 1 − n^2 + 2n − 1 = 4n\)
Так как множитель \(4n\) содержит \(4\), то выражение делится на \(4\).
Ответ: \((n + 1)^2 − (n − 1)^2\) делится на \(4\).
б) \((2n + 3)^2 − (2n − 1)^2\) делится на 8
Раскроем скобки:
- \((2n + 3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9\)
- \((2n − 1)^2 = (2n)^2 − 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 − 4n + 1\)
Подставим в выражение:
\((2n + 3)^2 − (2n − 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) − (4n^2 − 4n + 1)\)
Выполним вычисления:
- \(4n^2 + 12n + 9 − 4n^2 + 4n − 1 = 16n + 8\)
- \(16n + 8 = 8(2n + 1)\)
Так как множитель \(8(2n + 1)\) содержит \(8\), то выражение делится на \(8\).
Ответ: \((2n + 3)^2 − (2n − 1)^2\) делится на \(8\).
в) \((3n + 1)^2 − (3n − 1)^2\) делится на 12
Раскроем скобки:
- \((3n + 1)^2 = (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 1 + 1^2 = 9n^2 + 6n + 1\)
- \((3n − 1)^2 = (3n)^2 − 2 \cdot 3n \cdot 1 + 1^2 = 9n^2 − 6n + 1\)
Подставим в выражение:
\((3n + 1)^2 − (3n − 1)^2 = (9n^2 + 6n + 1) − (9n^2 − 6n + 1)\)
Выполним вычисления:
- \(9n^2 + 6n + 1 − 9n^2 + 6n − 1 = 12n\)
Так как множитель \(12n\) содержит \(12\), то выражение делится на \(12\).
Ответ: \((3n + 1)^2 − (3n − 1)^2\) делится на \(12\).
г) \((5n + 1)^2 − (2n − 1)^2\) делится на 7
Раскроем скобки:
- \((5n + 1)^2 = (5n)^2 + 2 \cdot 5n \cdot 1 + 1^2 = 25n^2 + 10n + 1\)
- \((2n − 1)^2 = (2n)^2 − 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 − 4n + 1\)
Подставим в выражение:
\((5n + 1)^2 − (2n − 1)^2 = (25n^2 + 10n + 1) − (4n^2 − 4n + 1)\)
Выполним вычисления:
- \(25n^2 + 10n + 1 − 4n^2 + 4n − 1 = 21n^2 + 14n\)
- \(21n^2 + 14n = 7n(3n + 2)\)
Так как множитель \(7n(3n + 2)\) содержит \(7\), то выражение делится на \(7\).
Ответ: \((5n + 1)^2 − (2n − 1)^2\) делится на \(7\).
Алгебра
