ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 978 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена выражение:

а) (x + y)⁶ + (x − y)⁶;
б) (x + y)⁶ − (x − y)⁶.

а) \(2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6\)
б) \(12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5\)

а) Представьте в виде многочлена выражение \((x + y)^6 + (x − y)^6\)

Для решения используем формулу бинома Ньютона:

(x + y)^n = ∑ C(n, k) * x^(n-k) * y^k, где C(n, k) — биномиальный коэффициент.

Разложим каждое выражение:

• \((x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\)
• \((x − y)^6 = x^6 − 6x^5y + 15x^4y^2 − 20x^3y^3 + 15x^2y^4 − 6xy^5 + y^6\)

Сложим два многочлена:

• \(x^6 + x^6 = 2x^6\)
• \(6x^5y − 6x^5y = 0\)
• \(15x^4y^2 + 15x^4y^2 = 30x^4y^2\)
• \(20x^3y^3 − 20x^3y^3 = 0\)
• \(15x^2y^4 + 15x^2y^4 = 30x^2y^4\)
• \(6xy^5 − 6xy^5 = 0\)
• \(y^6 + y^6 = 2y^6\)

Результат:

(x + y)^6 + (x − y)^6 = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6

б) Представьте в виде многочлена выражение \((x + y)^6 − (x − y)^6\)

Разложим каждое выражение, как в пункте а:

• \((x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\)
• \((x − y)^6 = x^6 − 6x^5y + 15x^4y^2 − 20x^3y^3 + 15x^2y^4 − 6xy^5 + y^6\)

Вычтем второй многочлен из первого:

• \(x^6 − x^6 = 0\)
• \(6x^5y − (−6x^5y) = 12x^5y\)
• \(15x^4y^2 − 15x^4y^2 = 0\)
• \(20x^3y^3 − (−20x^3y^3) = 40x^3y^3\)
• \(15x^2y^4 − 15x^2y^4 = 0\)
• \(6xy^5 − (−6xy^5) = 12xy^5\)
• \(y^6 − y^6 = 0\)

Результат:

(x + y)^6 − (x − y)^6 = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5