Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 978 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде многочлена выражение:
а) (x + y)6 + (x − y)6;
б) (x + y)6 − (x − y)6.
а) \(2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6\)
б) \(12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5\)
а) Представьте в виде многочлена выражение \((x + y)^6 + (x − y)^6\)
Для решения используем формулу бинома Ньютона:
(x + y)^n = ∑ C(n, k) * x^(n-k) * y^k, где C(n, k) — биномиальный коэффициент.
Разложим каждое выражение:
- \((x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\)
- \((x − y)^6 = x^6 − 6x^5y + 15x^4y^2 − 20x^3y^3 + 15x^2y^4 − 6xy^5 + y^6\)
Сложим два многочлена:
- \(x^6 + x^6 = 2x^6\)
- \(6x^5y − 6x^5y = 0\)
- \(15x^4y^2 + 15x^4y^2 = 30x^4y^2\)
- \(20x^3y^3 − 20x^3y^3 = 0\)
- \(15x^2y^4 + 15x^2y^4 = 30x^2y^4\)
- \(6xy^5 − 6xy^5 = 0\)
- \(y^6 + y^6 = 2y^6\)
Результат:
(x + y)^6 + (x − y)^6 = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6
б) Представьте в виде многочлена выражение \((x + y)^6 − (x − y)^6\)
Разложим каждое выражение, как в пункте а:
- \((x + y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\)
- \((x − y)^6 = x^6 − 6x^5y + 15x^4y^2 − 20x^3y^3 + 15x^2y^4 − 6xy^5 + y^6\)
Вычтем второй многочлен из первого:
- \(x^6 − x^6 = 0\)
- \(6x^5y − (−6x^5y) = 12x^5y\)
- \(15x^4y^2 − 15x^4y^2 = 0\)
- \(20x^3y^3 − (−20x^3y^3) = 40x^3y^3\)
- \(15x^2y^4 − 15x^2y^4 = 0\)
- \(6xy^5 − (−6xy^5) = 12xy^5\)
- \(y^6 − y^6 = 0\)
Результат:
(x + y)^6 − (x − y)^6 = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5
Алгебра
