ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 539 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числов:

a) (10^-1 — 1) / 9

б) (10^6 + 8) / 9

в) (10^6 — 4) / 3

a) \[
\frac{10^n — 1}{9}
\]

Число \(10^n — 1\) — будет состоять только из цифры 9,
при любом \(n\), то есть числитель разделится на знаменатель нацело,
следовательно,
\[
\frac{10^n — 1}{9}
\]

натуральное число.

б)
\[
\frac{10^n + 8}{9}
\]

число \(10^n + 8\) — будет иметь сумму цифр, кратную 9,
(так как \(10^n = 10 \ldots + 8 = 9 \ldots\))
то есть числитель разделится на знаменатель без остатка,
следовательно,
\[
\frac{10^n + 8}{9}
\]
— натуральное число.

в)
\[
\frac{10^n — 4}{3}
\]

число \(10^n — 4\) — будет иметь сумму цифр, кратную 3,
то есть числитель разделится на знаменатель нацело,
следовательно,
\[
\frac{10^n — 4}{3}
\]
— натуральное число.

a) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n — 1}{9} \):

Решение:

Шаг 1: Разберем, что такое \( 10^n — 1 \):

Для любого значения \( n \), выражение \( 10^n — 1 \) будет представлять собой число, состоящее из \( n \) девяток.

Например:

Для \( n = 1 \), \( 10^1 — 1 = 9 \),

Для \( n = 2 \), \( 10^2 — 1 = 99 \),

Для \( n = 3 \), \( 10^3 — 1 = 999 \),

Для \( n = 4 \), \( 10^4 — 1 = 9999 \),

И так далее.

Шаг 2: Сумма цифр числа \( 10^n — 1 \):

Сумма цифр числа, состоящего из девяток, всегда равна \( 9 \cdot n \). Например:

Для \( 10^1 — 1 = 9 \), сумма цифр = 9.

Для \( 10^2 — 1 = 99 \), сумма цифр = 18.

Для \( 10^3 — 1 = 999 \), сумма цифр = 27.

Для \( 10^4 — 1 = 9999 \), сумма цифр = 36.

Шаг 3: Делаем деление на 9:

Поскольку сумма цифр числа всегда кратна 9, то и само число \( 10^n — 1 \) делится на 9 нацело.

Следовательно, выражение \( \frac{10^n — 1}{9} \) всегда будет натуральным числом.

Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{9}{9} = 1 \),

Для \( n = 2 \), \( \frac{99}{9} = 11 \),

Для \( n = 3 \), \( \frac{999}{9} = 111 \),

И так далее.

Ответ: \( \frac{10^n — 1}{9} \) — натуральное число.

б) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n + 8}{9} \):

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим число \( 10^n + 8 \):

Число \( 10^n + 8 \) при любом \( n \) будет иметь сумму цифр, кратную 9, как доказано ниже.

Для \( n = 1 \), \( 10^1 + 8 = 18 \), сумма цифр = 9.

Для \( n = 2 \), \( 10^2 + 8 = 108 \), сумма цифр = 9.

Для \( n = 3 \), \( 10^3 + 8 = 1008 \), сумма цифр = 9.

Для \( n = 4 \), \( 10^4 + 8 = 10008 \), сумма цифр = 9.

Шаг 2: Проверка делимости на 9:

Поскольку сумма цифр числа \( 10^n + 8 \) всегда делится на 9, это число делится на 9 нацело.

Следовательно, выражение \( \frac{10^n + 8}{9} \) всегда будет натуральным числом.

Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{18}{9} = 2 \),

Для \( n = 2 \), \( \frac{108}{9} = 12 \),

Для \( n = 3 \), \( \frac{1008}{9} = 112 \),

И так далее.

Ответ: \( \frac{10^n + 8}{9} \) — натуральное число.

в) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n — 4}{3} \):

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим число \( 10^n — 4 \):

Число \( 10^n — 4 \) при любом \( n \) будет иметь сумму цифр, кратную 3, как показано ниже.

Для \( n = 1 \), \( 10^1 — 4 = 6 \), сумма цифр = 6 (кратно 3).

Для \( n = 2 \), \( 10^2 — 4 = 96 \), сумма цифр = 15 (кратно 3).

Для \( n = 3 \), \( 10^3 — 4 = 996 \), сумма цифр = 24 (кратно 3).

Для \( n = 4 \), \( 10^4 — 4 = 9996 \), сумма цифр = 33 (кратно 3).

Шаг 2: Проверка делимости на 3:

Поскольку сумма цифр числа \( 10^n — 4 \) всегда кратна 3, это число делится на 3 нацело.

Следовательно, выражение \( \frac{10^n — 4}{3} \) всегда будет натуральным числом.

Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{6}{3} = 2 \),

Для \( n = 2 \), \( \frac{96}{3} = 32 \),

Для \( n = 3 \), \( \frac{996}{3} = 332 \),

И так далее.

Ответ: \( \frac{10^n — 4}{3} \) — натуральное число.