Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 539 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числов:
a) (10^-1 — 1) / 9
б) (10^6 + 8) / 9
в) (10^6 — 4) / 3
a)
число \(10^n — 1\) — будет состоять только из цифры 9,
при любом \(n\), то есть числитель разделится на знаменатель нацело,
следовательно,
\[
\frac{10^n — 1}{9}
\]
натуральное число.
б)
\[
\frac{10^n + 8}{9}
\]
число \(10^n + 8\) — будет иметь сумму цифр, кратную 9,
(так как \(10^n = 10 \ldots + 8 = 9 \ldots\))
то есть числитель разделится на знаменатель без остатка,
следовательно,
\[
\frac{10^n + 8}{9}
\]
— натуральное число.
в)
\[
\frac{10^n — 4}{3}
\]
число \(10^n — 4\) — будет иметь сумму цифр, кратную 3,
то есть числитель разделится на знаменатель нацело,
следовательно,
\[
\frac{10^n — 4}{3}
\]
— натуральное число.
a) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n — 1}{9} \):
Решение:
Шаг 1: Разберем, что такое \( 10^n — 1 \):
Для любого значения \( n \), выражение \( 10^n — 1 \) будет представлять собой число, состоящее из \( n \) девяток.
Например:
Для \( n = 1 \), \( 10^1 — 1 = 9 \),
Для \( n = 2 \), \( 10^2 — 1 = 99 \),
Для \( n = 3 \), \( 10^3 — 1 = 999 \),
Для \( n = 4 \), \( 10^4 — 1 = 9999 \),
И так далее.
Шаг 2: Сумма цифр числа \( 10^n — 1 \):
Сумма цифр числа, состоящего из девяток, всегда равна \( 9 \cdot n \). Например:
Для \( 10^1 — 1 = 9 \), сумма цифр = 9.
Для \( 10^2 — 1 = 99 \), сумма цифр = 18.
Для \( 10^3 — 1 = 999 \), сумма цифр = 27.
Для \( 10^4 — 1 = 9999 \), сумма цифр = 36.
Шаг 3: Делаем деление на 9:
Поскольку сумма цифр числа всегда кратна 9, то и само число \( 10^n — 1 \) делится на 9 нацело.
Следовательно, выражение \( \frac{10^n — 1}{9} \) всегда будет натуральным числом.
Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{9}{9} = 1 \),
Для \( n = 2 \), \( \frac{99}{9} = 11 \),
Для \( n = 3 \), \( \frac{999}{9} = 111 \),
И так далее.
Ответ: \( \frac{10^n — 1}{9} \) — натуральное число.
b) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n + 8}{9} \):
Решение:
Шаг 1: Рассмотрим число \( 10^n + 8 \):
Число \( 10^n + 8 \) при любом \( n \) будет иметь сумму цифр, кратную 9, как доказано ниже.
Для \( n = 1 \), \( 10^1 + 8 = 18 \), сумма цифр = 9.
Для \( n = 2 \), \( 10^2 + 8 = 108 \), сумма цифр = 9.
Для \( n = 3 \), \( 10^3 + 8 = 1008 \), сумма цифр = 9.
Для \( n = 4 \), \( 10^4 + 8 = 10008 \), сумма цифр = 9.
Шаг 2: Проверка делимости на 9:
Поскольку сумма цифр числа \( 10^n + 8 \) всегда делится на 9, это число делится на 9 нацело.
Следовательно, выражение \( \frac{10^n + 8}{9} \) всегда будет натуральным числом.
Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{18}{9} = 2 \),
Для \( n = 2 \), \( \frac{108}{9} = 12 \),
Для \( n = 3 \), \( \frac{1008}{9} = 112 \),
И так далее.
Ответ: \( \frac{10^n + 8}{9} \) — натуральное число.
в) Рассмотрим выражение \( \frac{10^n — 4}{3} \):
Решение:
Шаг 1: Рассмотрим число \( 10^n — 4 \):
Число \( 10^n — 4 \) при любом \( n \) будет иметь сумму цифр, кратную 3, как показано ниже.
Для \( n = 1 \), \( 10^1 — 4 = 6 \), сумма цифр = 6 (кратно 3).
Для \( n = 2 \), \( 10^2 — 4 = 96 \), сумма цифр = 15 (кратно 3).
Для \( n = 3 \), \( 10^3 — 4 = 996 \), сумма цифр = 24 (кратно 3).
Для \( n = 4 \), \( 10^4 — 4 = 9996 \), сумма цифр = 33 (кратно 3).
Шаг 2: Проверка делимости на 3:
Поскольку сумма цифр числа \( 10^n — 4 \) всегда кратна 3, это число делится на 3 нацело.
Следовательно, выражение \( \frac{10^n — 4}{3} \) всегда будет натуральным числом.
Пример: для \( n = 1 \), \( \frac{6}{3} = 2 \),
Для \( n = 2 \), \( \frac{96}{3} = 32 \),
Для \( n = 3 \), \( \frac{996}{3} = 332 \),
И так далее.
Ответ: \( \frac{10^n — 4}{3} \) — натуральное число.
Алгебра
