Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1004 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
а) 41³ + 19³ делится на 60;
б) 79³ — 29³ делится на 50;
в) 66³ + 34³ делится на 400;
г) 54³ — 24³ делится на 1080.
Извлечённый текст из изображения:
—
1004.
а) \( 41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 — 41 \cdot 19 + 19^2) = 60(41^2 — 41 \cdot 19 + 19^2) \).
Так как множитель 60 делится на 60, то и значение выражения делится на 60.
б) \( 79^3 — 29^3 = (79 — 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) = 50(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) \).
Так как множитель 50 делится на 50, то и значение выражения делится на 50.
в) \( 66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 — 66 \cdot 34 + 34^2) = 100(66^2 — 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot 4 \cdot (33^2 — 33 \cdot 17 + 17^2) = 400(33^2 — 33 \cdot 17 + 17^2) \).
Так как множитель 400 делится на 400, то и значение выражения делится на 400.
г) \( 54^3 — 24^3 = (54 — 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30 \cdot 36 \cdot (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2) = 1080(9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2) \).
Так как множитель 1080 делится на 1080, то и значение выражения делится на 1080.
а) Докажите, что \( 41^3 + 19^3 \) делится на 60
Используем формулу суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляем значения \( a = 41 \), \( b = 19 \):
\( 41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 — 41 \cdot 19 + 19^2) \)
Вычисляем:
- \( 41 + 19 = 60 \)
- \( 41^2 = 1681, \; 19^2 = 361, \; 41 \cdot 19 = 779 \)
- \( 41^2 — 41 \cdot 19 + 19^2 = 1681 — 779 + 361 = 1263 \)
Таким образом:
\( 41^3 + 19^3 = 60 \cdot 1263 \)
Так как множитель \( 60 \) делится на \( 60 \), то и всё выражение делится на \( 60 \).
б) Докажите, что \( 79^3 — 29^3 \) делится на 50
Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
Подставляем значения \( a = 79 \), \( b = 29 \):
\( 79^3 — 29^3 = (79 — 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) \)
Вычисляем:
- \( 79 — 29 = 50 \)
- \( 79^2 = 6241, \; 29^2 = 841, \; 79 \cdot 29 = 2291 \)
- \( 79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2 = 6241 + 2291 + 841 = 9373 \)
Таким образом:
\( 79^3 — 29^3 = 50 \cdot 9373 \)
Так как множитель \( 50 \) делится на \( 50 \), то и всё выражение делится на \( 50 \).
в) Докажите, что \( 66^3 + 34^3 \) делится на 400
Используем формулу суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Подставляем значения \( a = 66 \), \( b = 34 \):
\( 66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 — 66 \cdot 34 + 34^2) \)
Вычисляем:
- \( 66 + 34 = 100 \)
- \( 66^2 = 4356, \; 34^2 = 1156, \; 66 \cdot 34 = 2244 \)
- \( 66^2 — 66 \cdot 34 + 34^2 = 4356 — 2244 + 1156 = 3268 \)
Таким образом:
\( 66^3 + 34^3 = 100 \cdot 3268 \)
Так как множитель \( 100 \) делится на \( 400 \), то и всё выражение делится на \( 400 \).
г) Докажите, что \( 54^3 — 24^3 \) делится на 1080
Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
Подставляем значения \( a = 54 \), \( b = 24 \):
\( 54^3 — 24^3 = (54 — 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) \)
Вычисляем:
- \( 54 — 24 = 30 \)
- \( 54^2 = 2916, \; 24^2 = 576, \; 54 \cdot 24 = 1296 \)
- \( 54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2 = 2916 + 1296 + 576 = 4788 \)
Таким образом:
\( 54^3 — 24^3 = 30 \cdot 4788 \)
Так как множитель \( 30 \cdot 4788 = 1080 \cdot k \) делится на \( 1080 \), то и всё выражение делится на \( 1080 \).
Алгебра
