ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 325 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) $|x^2 + 3x — 4| = 3x$

б) $|x^2 — 4x + 4| = x$

в) $6x = |x^2 + 8x — 8|$

г) $|2x^2 + 5x — 10| = 5 — 2x$

д) $|x^2 — x + 3| = x + 2$

е) $x-1=\mathrm{\mid }6x^2+2x-2\mathrm{\mid }$

Решить уравнение:

а) $|x^2 + 3x — 4| = 3x$

Первое уравнение:

$$x^2 + 3x — 4 = 3x;$$ $$x^2 — 4 = 0;$$ $$x^2 = 4,\ x = \pm 2;$$

Второе уравнение:

$$x^2 + 3x — 4 = -3x;$$ $$x^2 + 6x — 4 = 0;$$ $$D = 6^2 + 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52,\ \text{тогда:}$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13};$$

Область определения:

$$3x \ge 0,\ x \ge 0;$$

Ответ: $2; \sqrt{13} — 3.$

б) $|x^2 — 4x + 4| = x$

Первое уравнение:

$$x^2 — 4x + 4 = x;$$ $$x^2 — 5x + 4 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$

Второе уравнение:

$$x^2 — 4x + 4 = -x;$$ $$x^2 — 3x + 4 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 4 = -7;$$ $$D < 0,\ \text{значит } x \in \varnothing;$$

Ответ: $1; 4.$

в) $6x = |x^2 + 8x — 8|$

Первое уравнение:

$$x^2 + 8x — 8 = 6x;$$ $$x^2 + 2x — 8 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4,\ x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;$$

Второе уравнение:

$$x^2 + 8x — 8 = -6x;$$ $$x^2 + 14x — 8 = 0;$$ $$D = 14^2 + 4 \cdot 8 = 196 + 32 = 228,\ \text{тогда:}$$ $$x = \frac{-14 \pm \sqrt{228}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{57}}{2} = -7 \pm \sqrt{57};$$

Область определения:

$$6x \ge 0,\ x \ge 0;$$

Ответ: $2; \sqrt{57} — 7.$

г) $|2x^2 + 5x — 10| = 5 — 2x$

Первое уравнение:

$$2x^2 + 5x — 10 = 5 — 2x;$$ $$2x^2 + 7x — 15 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 15 = 49 + 120 = 169,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-7 — 13}{2 \cdot 2} = -5,\ x_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 2} = 1,5;$$

Второе уравнение:

$$2x^2 + 5x — 10 = 2x — 5;$$ $$2x^2 + 3x — 5 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2,5,\ x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1;$$

Область определения:

$$5 — 2x \ge 0,\ x \le 2,5;$$

Ответ: $-5; -2,5; 1; 1,5.$

д) $|x^2 — x + 3| = x + 2$

Первое уравнение:

$$x^2 — x + 3 = x + 2;$$ $$x^2 — 2x + 1 = 0;$$ $$(x — 1)^2 = 0;$$ $$x — 1 = 0,\ x = 1;$$

Второе уравнение:

$$x^2 — x + 3 = -x — 2;$$ $$x^2 = -5,\ x \in \varnothing;$$

Область определения:

$$x + 2 \ge 0,\ x \ge -2;$$

Ответ: $1.$

е) $x — 1 = |6x^2 + 2x — 2|$

Первое уравнение:

$$6x^2 + 2x — 2 = x — 1;$$ $$6x^2 + x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{2},\ x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3};$$

Второе уравнение:

$$6x^2 + 2x — 2 = 1 — x;$$ $$6x^2 + 3x — 3 = 0;$$ $$2x^2 + x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1,\ x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$

Область определения:

$$x — 1 \ge 0,\ x \ge 1;$$

Ответ: корней нет.

а) $|x^2 + 3x — 4| = 3x$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Абсолютное значение $|A| = B$ раскрывается двумя случаями:

$A = B$, если $B \geq 0$,

$A = -B$, если $B < 0$.

Здесь $A = x^2 + 3x — 4$, и мы рассматриваем два случая для $3x$ (поскольку правая часть уравнения — это $3x$).

Первый случай: $x^2 + 3x — 4 = 3x$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 3x — 4 — 3x = 0$$ $$x^2 — 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Шаг 3: Проверка условий

Чтобы решения $x = \pm 2$ были допустимыми, нужно, чтобы $3x \geq 0$ (поскольку у нас есть $3x$ на правой части уравнения). Это означает, что $x \geq 0$. Из двух решений $x = 2$ подходит, а $x = -2$ — нет, так как $3 \cdot (-2) = -6$, что отрицательно.

Второй случай: $x^2 + 3x — 4 = -3x$

Шаг 4: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 3x — 4 + 3x = 0$$ $$x^2 + 6x — 4 = 0$$

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}$$

Шаг 5: Проверка области определения

Для этого случая, как и для предыдущего, $3x \geq 0$, то есть $x \geq 0$. Это накладывает ограничения на решения $x = -3 + \sqrt{13}$ и $x = -3 — \sqrt{13}$.

Так как $\sqrt{13} \approx 3.605$, то:

$$x = -3 + \sqrt{13} \approx 0.605 > 0$$

а

$$x = -3 — \sqrt{13} \approx -6.605 < 0$$

Значит, только $x = -3 + \sqrt{13}$ подходит.

Ответ для задачи а: $x = 2; \sqrt{13} — 3$.

б) $|x^2 — 4x + 4| = x$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Как и в предыдущем примере, раскрываем абсолютное значение, рассматривая два случая:

Первый случай: $x^2 — 4x + 4 = x$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 4x + 4 — x = 0$$ $$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение, используя формулу для дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Второй случай: $x^2 — 4x + 4 = -x$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 4x + 4 + x = 0$$ $$x^2 — 3x + 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 — 16 = -7$$

Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), корней нет.

Ответ для задачи б: $x = 1; 4$.

в) $6x = |x^2 + 8x — 8|$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Опять раскрываем абсолютное значение, рассматривая два случая:

Первый случай: $x^2 + 8x — 8 = 6x$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 8x — 8 — 6x = 0$$ $$x^2 + 2x — 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение, используя формулу для дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4,\ x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

Второй случай: $x^2 + 8x — 8 = -6x$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 8x — 8 + 6x = 0$$ $$x^2 + 14x — 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 196 + 32 = 228$$ $$x = \frac{-14 \pm \sqrt{228}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{57}}{2} = -7 \pm \sqrt{57}$$

Шаг 4: Область определения

Для того чтобы $6x \geq 0$, необходимо, чтобы $x \geq 0$. Это накладывает ограничения на решение $x = -7 + \sqrt{57}$ и $x = -7 — \sqrt{57}$.

Так как $\sqrt{57} \approx 7.55$, то:

$$x = -7 + \sqrt{57} \approx 0.55 > 0$$

а

$$x = -7 — \sqrt{57} \approx -14.55 < 0$$

Следовательно, только $x = -7 + \sqrt{57}$ подходит.

Ответ для задачи в: $x = 2; \sqrt{57} — 7$.

г) $|2x^2 + 5x — 10| = 5 — 2x$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Аналогично, раскрываем абсолютное значение, рассматривая два случая.

Первый случай: $2x^2 + 5x — 10 = 5 — 2x$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 + 5x — 10 — 5 + 2x = 0$$ $$2x^2 + 7x — 15 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$$ $$x_1 = \frac{-7 — 13}{2 \cdot 2} = -5,\ x_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 2} = 1.5$$

Второй случай: $2x^2 + 5x — 10 = 2x — 5$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 + 5x — 10 — 2x + 5 = 0$$ $$2x^2 + 3x — 5 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2.5,\ x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1$$

Шаг 4: Область определения

Для $5 — 2x \geq 0$, $x \leq 2.5$.

Ответ для задачи г: $-5; -2.5; 1; 1.5$.

д) $|x^2 — x + 3| = x + 2$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Рассматриваем два случая.

Первый случай: $x^2 — x + 3 = x + 2$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x + 3 — x — 2 = 0$$ $$x^2 — 2x + 1 = 0$$

Получаем полный квадрат:

$$(x — 1)^2 = 0$$ $$x = 1$$

Второй случай: $x^2 — x + 3 = -x — 2$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x + 3 + x + 2 = 0$$ $$x^2 = -5$$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, решений нет.

Ответ для задачи д: $x = 1$.

е) $x — 1 = |6x^2 + 2x — 2|$

Шаг 1: Раскрытие абсолютного значения

Рассматриваем два случая.

Первый случай: $6x^2 + 2x — 2 = x — 1$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$6x^2 + 2x — 2 — x + 1 = 0$$ $$6x^2 + x — 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{2},\ x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3}$$

Второй случай: $6x^2 + 2x — 2 = 1 — x$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$6x^2 + 2x — 2 — 1 + x = 0$$ $$6x^2 + 3x — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$2x^2 + x — 1 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1,\ x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Область определения

Для $x — 1 \geq 0$, $x \geq 1$.

Ответ для задачи е: Корней нет.