ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1288 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Чему равно значение выражений:

a) $\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}$
b) $\frac{1}{3} \tg \frac{\pi}{3} \ctg \frac{\pi}{6}$
c) $4 \tg \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{3}$
d) $\sin \frac{\pi}{3} (\tg \frac{\pi}{6} — \cos \frac{\pi}{6})$
e) $\tg \frac{\pi}{6} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right)$
f) $8 \cos \frac{\pi}{2} \ctg \frac{\pi}{4}$
g) $\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3} \tg \frac{\pi}{3}$
h) $\cos \frac{\pi}{6} — \tg \frac{\pi}{6} + \ctg \frac{\pi}{6}$

Найти значение выражений:

a) $\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{4}$
b) $\frac{1}{3} \tg \frac{\pi}{3} \ctg \frac{\pi}{6} = 1$
в) $4 \tg \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} = 2$
г) $8 \cos \frac{\pi}{2} \ctg \frac{\pi}{4} = 0$
д) $\sin \frac{\pi}{3} \left( \tg \frac{\pi}{6} — \cos \frac{\pi}{6} \right) = — \frac{1}{4}$
е) $\tg \frac{\pi}{6} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{6}}{6}$
ж) $3 \cos \frac{\pi}{3} + \tg \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4}$
з) $\cos \frac{\pi}{6} + \ctg \frac{\pi}{6} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$

a) $\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}$

1. Шаг 1: Известные значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$:

   $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Шаг 2: Подставляем значения в выражение:

   $$\frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. Шаг 3: Умножаем числители и знаменатели:

   $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$

b) $\frac{1}{3} \tg \frac{\pi}{3} \ctg \frac{\pi}{6}$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \quad \ctg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\tg \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 3$$

3. Шаг 3: Умножаем:

   $$= \frac{3}{3} = 1$$

Ответ: $1$

в) $4 \tg \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3}$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Шаг 3: Умножаем числители и знаменатели:

   $$= 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$$

Ответ: $6$

г) $8 \cos \frac{\pi}{2} \ctg \frac{\pi}{4}$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \ctg \frac{\pi}{4} = 1$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$8 \cdot 0 \cdot 1 = 0$$

Ответ: $0$

д) $\sin \frac{\pi}{3} \left( \tg \frac{\pi}{6} — \cos \frac{\pi}{6} \right)$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

3. Шаг 3: Приводим к общему знаменателю внутри скобок:

   $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. Шаг 4: Приводим к общему знаменателю:

   $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( \frac{2}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{6} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

е) $\tg \frac{\pi}{6} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right)$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

ж) $3 \cos \frac{\pi}{3} + \tg \frac{\pi}{6}$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}$$

3. Шаг 3: Приводим к общему знаменателю:

   $$= \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + 2}{2\sqrt{3}}$$

Ответ: $3 \cos \frac{\pi}{3} + \tg \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4}$

з) $\cos \frac{\pi}{6} + \ctg \frac{\pi}{6}$

1. Шаг 1: Значения тригонометрических функций:

   $$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$$

2. Шаг 2: Подставляем в выражение:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:$\frac{7\sqrt{3}}{6}$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$