ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 401 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) |4,5-|3,5x-2||=3;

б) |x-4|+|x+1|+|x+5|=12.

Решить уравнение:

а)

$$|4{,}5 — |3{,}5x — 2|| = 3;$$

Первое уравнение:

$$4{,}5 — |3{,}5x — 2| = -3;$$ $$|3{,}5x — 2| = 7{,}5;$$ $$3{,}5x — 2 = -7{,}5,\ x = -\frac{11}{7};$$ $$3{,}5x — 2 = 7{,}5,\ x = \frac{19}{7};$$

Второе уравнение:

$$4{,}5 — |3{,}5x — 2| = 3;$$ $$|3{,}5x — 2| = 1{,}5;$$ $$3{,}5x — 2 = -1{,}5,\ x = \frac{1}{7};$$ $$3{,}5x — 2 = 1{,}5,\ x = 1;$$

Ответ:

$$-\frac{11}{7};\ \frac{19}{7};\ \frac{1}{7};\ 1.$$

б)

$$|x — 4| + |x + 1| + |x + 5| = 12;$$

Если $x \leq -5$, тогда:

$$4 — x — x — 1 — x — 5 = 12;$$ $$-3x = -14,\ x = -4\frac{2}{3};$$

Если $-5 < x \leq -1$, тогда:

$$4 — x — x — 1 + x + 5 = 12;$$ $$x = 8 — 12 = -4;$$

Если $-1 < x \leq 4$, тогда:

$$4 — x + x + 1 + x + 5 = 12;$$ $$x = 12 — 10 = 2;$$

Если $x > 4$, тогда:

$$x — 4 + x + 1 + x + 5 = 12;$$ $$3x = 10,\ x \neq 3\frac{1}{3};$$

Ответ:

$$-4;2.$$

а) Решить уравнение:

$$|4{,}5 — |3{,}5x — 2|| = 3$$

Это вложенное модульное уравнение, поэтому решим его, разбив на случаи, так как

$$|A| = B \quad \Longrightarrow \quad A = B \quad \text{или} \quad A = -B$$

Шаг 1. Введём замену:

Обозначим:

$$y = |3{,}5x — 2|$$

Тогда уравнение становится:

$$|4{,}5 — y| = 3$$

Шаг 2. Решим уравнение с внешним модулем:

$$|4{,}5 — y| = 3 \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} 4{,}5 — y = 3 \\ 4{,}5 — y = -3 \end{cases}$$

Первый случай:

$$4{,}5 — y = 3 \Rightarrow y = 1{,}5$$

Второй случай:

$$4{,}5 — y = -3 \Rightarrow y = 7{,}5$$

Шаг 3. Подставим обратно вместо $y$:

Найдём $x$ из уравнения:

$$|3{,}5x — 2| = 1{,}5 \quad \text{и} \quad |3{,}5x — 2| = 7{,}5$$

Случай 1: $|3{,}5x — 2| = 1{,}5$

$$\begin{cases} 3{,}5x — 2 = 1{,}5 &\Rightarrow\ 3{,}5x = 3{,}5\ \Rightarrow\ x = 1 \\ 3{,}5x — 2 = -1{,}5 &\Rightarrow\ 3{,}5x = 0{,}5\ \Rightarrow\ x = \frac{1}{7} \end{cases}$$

Случай 2: $|3{,}5x — 2| = 7{,}5$

$$\begin{cases} 3{,}5x — 2 = 7{,}5 &\Rightarrow\ 3{,}5x = 9{,}5\ \Rightarrow\ x = \frac{95}{35} = \frac{19}{7} \\ 3{,}5x — 2 = -7{,}5 &\Rightarrow\ 3{,}5x = -5{,}5\ \Rightarrow\ x = \frac{-55}{35} = -\frac{11}{7} \end{cases}$$

Ответ к а):

$$\boxed{-\frac{11}{7};\ \frac{19}{7};\ \frac{1}{7};\ 1}$$

б) Решить уравнение:

$$|x — 4| + |x + 1| + |x + 5| = 12$$

Шаг 1. Найдём точки, в которых меняется знак выражений под модулем

• $x = -5$
• $x = -1$
• $x = 4$

Это точки разбиения числовой прямой — будем рассматривать интервалы:

1. $x \leq -5$
2. $-5 < x \leq -1$
3. $-1 < x \leq 4$
4. $x > 4$

Рассмотрим каждый интервал по отдельности:

1) Интервал $x \leq -5$

Все три выражения под модулем отрицательны:

$$|x — 4| = -(x — 4) = -x + 4$$ $$|x + 1| = -(x + 1) = -x — 1$$ $$|x + 5| = -(x + 5) = -x — 5$$

Суммируем:

$$(-x + 4) + (-x — 1) + (-x — 5) = -3x — 2$$

Приравниваем к 12:

$$-3x — 2 = 12 \Rightarrow -3x = 14 \Rightarrow x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3}$$

Проверим: $-4{,}67 \leq -5$? Да.
$-4{,}67 > -5$? Нет ⇒ принадлежит интервалу

Подходит.

2) Интервал $-5 < x \leq -1$

• $x + 5 > 0$ ⇒ $|x + 5| = x + 5$
• Остальные выражения отрицательные:

$$|x — 4| = -x + 4,\quad |x + 1| = -x — 1$$

Сумма:

$$(-x + 4) + (-x — 1) + (x + 5) = -x + 8$$

Решим:

$$-x + 8 = 12 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$$

Проверка: $-5 < -4 \leq -1$ ⇒ принадлежит интервалу

Подходит.

3) Интервал $-1 < x \leq 4$

• $x + 1 > 0$, $x + 5 > 0$,
• $x — 4 < 0$

$$|x — 4| = -x + 4,\quad |x + 1| = x + 1,\quad |x + 5| = x + 5$$

Сумма:

$$(-x + 4) + (x + 1) + (x + 5) = x + 10$$

Решим:

$$x + 10 = 12 \Rightarrow x = 2$$

Проверка: $-1 < 2 \leq 4$ ⇒ принадлежит интервалу

Подходит.

4) Интервал $x > 4$

Все выражения под модулем положительные:

$$|x — 4| = x — 4,\quad |x + 1| = x + 1,\quad |x + 5| = x + 5$$

Сумма:

$$(x — 4) + (x + 1) + (x + 5) = 3x + 2$$

Решим:

$$3x + 2 = 12 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$

Проверка: $x = 3{,}33 > 4$? Нет ⇒ не принадлежит интервалу
Не подходит.

Ответ к б):

$$\boxed{-4;\ 2}$$