ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 492 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} x + y = 5xy \\ x — y = xy \end{cases}$$

Первое уравнение:
$x + y = 5(x — y);$
$x + y = 5x — 5y;$
$4x = 6y, \; x = \frac{3y}{2};$

Второе уравнение:
$\frac{3y}{2} — y = y \cdot \frac{3y}{2};$
$\frac{3y}{2} — y = \frac{3y^2}{2};$
$\frac{1}{2}y = \frac{3y^2}{2};$
$y = 3y^2;$
$3y^2 — y = 0;$
$y(3y — 1) = 0;$
$y_1 = 0, \; y_2 = \frac{1}{3};$
$x_1 = 0, \; x_2 = \frac{1}{2};$

Ответ: $(0; 0); \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right).$

б)

$$\begin{cases} 5x + 5y = 6xy \\ 5x — 5y = xy \end{cases}$$

Первое уравнение:
$5x + 5y = 6(5x — 5y);$
$5x + 5y = 30x — 30y;$
$25x = 35y, \; x = \frac{7y}{5};$

Второе уравнение:
$\frac{7y}{5} — 5y = y \cdot \frac{7y}{5};$
$\frac{7y — 25y}{5} = \frac{7y^2}{5};$
$-\frac{18y}{5} = \frac{7y^2}{5};$
$-18y = 7y^2;$
$7y^2 + 18y = 0;$
$y(7y + 18) = 0;$
$y_1 = 0, \; y_2 = -\frac{18}{7};$
$x_1 = 0, \; x_2 = -\frac{18}{5};$

Ответ: $(0; 0); \left(-\frac{18}{5}; -\frac{18}{7}\right).$

а)

$$\begin{cases} x + y = 5xy \quad \text{(1)} \\ x — y = xy \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим одну сторону через другую

Из уравнения (1):

$$x + y = 5xy$$

Из уравнения (2):

$$x — y = xy$$

Применим метод подстановки: выразим $x + y$ через $x — y$.

Умножим второе уравнение на 5:

$$5(x — y) = 5xy \Rightarrow 5x — 5y = 5xy$$

Теперь заметим, что из (1):

$$x + y = 5xy = 5x — 5y \Rightarrow x + y = 5x — 5y$$

Шаг 2. Решим уравнение $x + y = 5x — 5y$

Переносим все слагаемые в одну часть:

$$x + y — 5x + 5y = 0 \Rightarrow -4x + 6y = 0 \Rightarrow 4x = 6y \Rightarrow x = \frac{6y}{4} = \frac{3y}{2}$$

Шаг 3. Подставим $x = \frac{3y}{2}$ в уравнение (2)

Напомним:
Уравнение (2): $x — y = xy$

Подставим:

$$\frac{3y}{2} — y = \frac{3y}{2} \cdot y \Rightarrow \frac{3y — 2y}{2} = \frac{3y^2}{2} \Rightarrow \frac{y}{2} = \frac{3y^2}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$y = 3y^2 \Rightarrow 3y^2 — y = 0 \Rightarrow y(3y — 1) = 0$$

Шаг 4. Найдём значения $y$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = \frac{1}{3}$$

Теперь найдём соответствующие значения $x$ по формуле $x = \frac{3y}{2}$:

• При $y = 0$:
  $x = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$
• При $y = \frac{1}{3}$:
  $x = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{(0;\ 0);\quad \left(\frac{1}{2};\ \frac{1}{3}\right)}$$

б)

$$\begin{cases} 5x + 5y = 6xy \quad \text{(1)} \\ 5x — 5y = xy \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Выразим $5x + 5y$ через $5x — 5y$

Из уравнения (1):

$$5x + 5y = 6xy$$

Из уравнения (2):

$$5x — 5y = xy$$

Подставим:

$$5x + 5y = 6(5x — 5y) \Rightarrow 5x + 5y = 30x — 30y$$

Шаг 2. Решим уравнение $5x + 5y = 30x — 30y$

Переносим всё в одну часть:

$$5x+5y-30x+30y=0\Rightarrow -25x+35y=0\Rightarrow 25x=35y\Rightarrow$$

$$5x + 5y — 30x + 30y = 0 \Rightarrow -25x + 35y = 0 \Rightarrow 25x = 35y \Rightarrow x = \frac{35y}{25} = \frac{7y}{5}$$

Шаг 3. Подставим $x = \frac{7y}{5}$ в уравнение (2)

Уравнение (2):

$$5x — 5y = xy$$

Подставим:

$$5 \cdot \frac{7y}{5} — 5y = \frac{7y}{5} \cdot y \Rightarrow 7y — 5y = \frac{7y^2}{5} \Rightarrow 2y = \frac{7y^2}{5}$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{7y}{5}-5y=y\cdot \frac{7y}{5}\Rightarrow \frac{7y-25y}{5}=\frac{7y^2}{5}\Rightarrow -\frac{18y}{5}=\frac{7y^2}{5}\Rightarrow$$

$$\frac{7y}{5} — 5y = y \cdot \frac{7y}{5} \Rightarrow \frac{7y — 25y}{5} = \frac{7y^2}{5} \Rightarrow -\frac{18y}{5} = \frac{7y^2}{5} \Rightarrow -18y = 7y^2 \Rightarrow 7y^2 + 18y = 0 \Rightarrow y(7y + 18) = 0$$

Шаг 4. Найдём значения $y$

$$y_1 = 0, \quad y_2 = -\frac{18}{7}$$

Теперь найдём соответствующие значения $x = \frac{7y}{5}$:

• При $y = 0$:
  $x = \frac{7 \cdot 0}{5} = 0$
• При $y = -\frac{18}{7}$:
  $x = \frac{7 \cdot (-18/7)}{5} = \frac{-18}{5}$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{{\displaystyle (0;0);(-\frac{18}{5};-\frac{18}{7})}}$$