ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 491 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}2x^2-xy=y^2+5\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}$$

б)

$$\begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1 \\ 2x^2 — y^2 = 2xy — 1 \end{cases};$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} 2x^2 — xy = y^2 + 5 \\ x^2 — xy = y^2 + 1 \end{cases};$$

Разность уравнений:
$x^2 = 4, \; x = \pm 2;$

Первое значение:
$4 + 2y = y^2 + 1;$
$y^2 — 2y — 3 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$ тогда:
$y_1 = \dfrac{2 — 4}{2} = -1$ и $y_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3;$

Второе значение:
$4 — 2y = y^2 + 1;$
$y^2 + 2y — 3 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$ тогда:
$y_1 = \dfrac{-2 — 4}{2} = -3$ и $y_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1;$

Ответ: $(-2; -1); (-2; 3); (2; -3); (2; 1).$

б)

$$\begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1 \\ 2x^2 — y^2 = 2xy — 1 \end{cases};$$

Разность уравнений:
$x^2 — y^2 = 0;$
$(x + y)(x — y) = 0;$
$x_1 = -y, \; x_2 = y;$

Первое значение:
$2y^2 — y^2 = 2y \cdot (-y) — 1;$
$y^2 = -2y^2 — 1;$
$3y^2 = -1, \; y \in \varnothing;$

Второе значение:
$2y^2 — y^2 = 2y \cdot y — 1;$
$y^2 = 2y^2 — 1;$
$y^2 = 1, \; y = \pm 1;$

Ответ: $(-1; -1); (1; 1).$

а)

$$\begin{cases} 2x^2 — xy = y^2 + 5 \quad \text{(1)} \\ x^2 — xy = y^2 + 1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Найдём разность уравнений

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$(2x^2 — xy) — (x^2 — xy) = (y^2 + 5) — (y^2 + 1)$$

Раскроем скобки:

$$2x^2 — xy — x^2 + xy = y^2 + 5 — y^2 — 1$$

Приведём подобные:

$$(2x^2 — x^2) + (-xy + xy) = (y^2 — y^2) + (5 — 1) \Rightarrow x^2 = 4$$

Следовательно:

$$x = \pm 2$$

Шаг 2. Подставим $x = -2$ в уравнение (2)

Уравнение (2):

$$x^2 — xy = y^2 + 1$$

Подставим $x = -2$:

$$(-2)^2 — (-2)y = y^2 + 1 \Rightarrow 4 + 2y = y^2 + 1$$

Перенесём всё в одну часть:

$$4 + 2y — y^2 — 1 = 0 \Rightarrow -y^2 + 2y + 3 = 0 \Rightarrow y^2 — 2y — 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$ $$y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \\ y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{cases}$$

Соответствующие пары:

$$(-2;\ -1), \quad (-2;\ 3)$$

Шаг 3. Подставим $x = 2$ в уравнение (2)

Уравнение (2):

$$x^2 — xy = y^2 + 1$$

Подставим $x = 2$:

$$4 — 2y = y^2 + 1 \Rightarrow -2y — y^2 + 4 — 1 = 0 \Rightarrow -y^2 — 2y + 3 = 0 \Rightarrow y^2 + 2y — 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$ $$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \\ y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \end{cases}$$

Соответствующие пары:

$$(2;\ -3), \quad (2;\ 1)$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{ (-2;\ -1);\quad (-2;\ 3);\quad (2;\ -3);\quad (2;\ 1) }$$

б)

$$\begin{cases} 3x^2 — 2y^2 = 2xy — 1 \quad \text{(1)} \\ 2x^2 — y^2 = 2xy — 1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Найдём разность уравнений

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$(3x^2 — 2y^2) — (2x^2 — y^2) = (2xy — 1) — (2xy — 1)$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 — 2y^2 — 2x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow (x^2 — y^2) = 0 \Rightarrow (x — y)(x + y) = 0$$

Решения:

1. $x = y$
2. $x = -y$

Шаг 2. Подставим $x = -y$ в уравнение (2)

Уравнение (2):

$$2x^2 — y^2 = 2xy — 1$$

Подставим $x = -y$:

$$2(-y{)}^2-y^2=2\cdot (-y)\cdot y-1\Rightarrow 2y^2-y^2=-2y^2-1\Rightarrow$$

$$2(-y)^2 — y^2 = 2 \cdot (-y) \cdot y — 1 \Rightarrow 2y^2 — y^2 = -2y^2 — 1 \Rightarrow y^2 = -2y^2 — 1 \Rightarrow 3y^2 = -1$$

Это невозможно, так как левое выражение положительное, а правое — отрицательное.

Значит, решений нет.

Шаг 3. Подставим $x = y$ в уравнение (2)

Уравнение (2):

$$2x^2 — y^2 = 2xy — 1$$

Подставим $x = y$:

$$2y^2 — y^2 = 2y \cdot y — 1 \Rightarrow y^2 = 2y^2 — 1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$$

Если $y = 1$, то $x = y = 1$
Если $y = -1$, то $x = y = -1$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{{\displaystyle (-1;-1);(1;1)}}$$