ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1283 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При повороте начального радиуса OA на угол $\alpha$ точка $A(R;0)$ переходит в точку $B(x;y)$. Вычислите значения тригонометрических функций угла $\alpha$, если:

а) $x = 0,3$; $y = 0,4$;

б) $x = -12$; $y = -9$;

в) $x = 1,8$; $y = -2,4$;

г) $x = 0,3$; $y = 2,7$;

д) $x = 3$; $y > 0$; $R = 4$;

е) $x < 0$; $y = 2$; $R = 3$;

ж) $x = -5$; $y < 0$; $R = 6$;

з) $x > 0$; $y = -1$; $R=2$

При повороте радиуса $OA$ на угол $\alpha$, точка $A(R; 0)$ переходит в $B(x; y)$:

а) $x = 0,3$; $y = 0,4$;

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0,25} = 0,5;$$ $$\sin \alpha = \frac{0,4}{0,5} = \frac{4}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{0,3}{0,5} = \frac{3}{5};$$ $$\tg \alpha = \frac{4}{3}, \quad \ctg \alpha = \frac{3}{4};$$

б) $x = -12$; $y = -9$;

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15;$$ $$\sin \alpha = \frac{-9}{15} = -\frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{-12}{15} = -\frac{4}{5};$$ $$\tg \alpha = \frac{3}{4}, \quad \ctg \alpha = \frac{4}{3};$$

в) $x = 1,8$; $y = -2,4$;

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3;$$ $$\sin \alpha = \frac{-2,4}{3} = -0,8, \quad \cos \alpha = \frac{1,8}{3} = 0,6;$$ $$\tg \alpha = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{4}{3}, \quad \ctg \alpha = -\frac{3}{4};$$

г) $x = 0,3$; $y = 2,7$;

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{9 + 729}}{10} = \frac{3\sqrt{82}}{10};$$ $$\sin \alpha = \frac{9}{\sqrt{82}} = \frac{9\sqrt{82}}{82}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{82}} = \frac{\sqrt{82}}{82};$$ $$\tg \alpha = \frac{9\sqrt{82}}{82} : \frac{\sqrt{82}}{82} = 9, \quad \ctg \alpha = \frac{1}{9};$$

д) $x = 3$; $y > 0$; $R = 4$;

$$y = \sqrt{R^2 — x^2} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7};$$ $$\sin \alpha = \frac{y}{R} = \frac{\sqrt{7}}{4}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = \frac{3}{4};$$ $$\tg \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}, \quad \ctg \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7};$$

е) $x < 0$; $y = 2$; $R = 3$;

$$x = -\sqrt{R^2 — y^2} = -\sqrt{9 — 4} = -\sqrt{5};$$ $$\sin \alpha = \frac{y}{R} = \frac{2}{3}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = -\frac{\sqrt{5}}{3};$$ $$\tg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \ctg \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2};$$

ж) $x = -5$; $y < 0$; $R = 6$;

$$y = -\sqrt{R^2 — x^2} = -\sqrt{36 — 25} = -\sqrt{11};$$ $$\sin \alpha = \frac{y}{R} = -\frac{\sqrt{11}}{6}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = -\frac{5}{6};$$ $$\tg \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}, \quad \ctg \alpha = \frac{5\sqrt{11}}{11};$$

з) $x > 0$; $y = -1$; $R = 2$;

$$x = \sqrt{R^2 — y^2} = \sqrt{4 — 1} = \sqrt{3};$$ $$\sin \alpha = -\frac{1}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\tg \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \ctg \alpha = -\sqrt{3};$$

а) $x = 0,3$; $y = 0,4$

Вычисление радиуса $R$:

Радиус $R$ — это расстояние от начала координат до точки $A(x, y)$, которое можно вычислить с помощью теоремы Пифагора:

$$R = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Подставим значения:

$$R = \sqrt{0,3^2 + 0,4^2} = \sqrt{0,09 + 0,16} = \sqrt{0,25} = 0,5$$

Таким образом, радиус $R$ равен 0,5.

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Синус и косинус угла $\alpha$ связаны с координатами точки $A(x, y)$ и радиусом $R$. Формулы для синуса и косинуса следующие:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R}$$

Подставим значения:

$$\sin \alpha = \frac{0,4}{0,5} = \frac{4}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{0,3}{0,5} = \frac{3}{5}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Тангенс и котангенс угла $\alpha$ определяются как отношение синуса к косинусу и косинуса к синусу соответственно:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$

б) $x = -12$; $y = -9$

Вычисление радиуса $R$:

Сначала найдем радиус $R$ по аналогичной формуле:

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Подставляем значения для синуса и косинуса, используя формулы:

$$\sin \alpha = \frac{-9}{15} = -\frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{-12}{15} = -\frac{4}{5}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Вспомним, что тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$$

в) $x = 1,8$; $y = -2,4$

Вычисление радиуса $R$:

Для вычисления радиуса используем стандартную формулу:

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1,8^2 + (-2,4)^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Подставим значения для синуса и косинуса:

$$\sin \alpha = \frac{-2,4}{3} = -0,8, \quad \cos \alpha = \frac{1,8}{3} = 0,6$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Используем выражения для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{4}{3}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\frac{3}{4}$$

г) $x = 0,3$; $y = 2,7$

Вычисление радиуса $R$:

Для нахождения радиуса используем формулу Пифагора:

$$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0,3^2 + 2,7^2} = \sqrt{0,09 + 7,29} = \sqrt{7,38}$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Формулы для синуса и косинуса угла:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R} = \frac{2,7}{\sqrt{7,38}}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = \frac{0,3}{\sqrt{7,38}}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 9, \quad \ctg \alpha = \frac{1}{9}$$

д) $x = 3$; $y > 0$; $R = 4$

Вычисление значения $y$:

Известен радиус $R$, и нужно найти значение $y$. Используем формулу:

$$y = \sqrt{R^2 — x^2} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7}$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Теперь находим синус и косинус:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R} = \frac{\sqrt{7}}{4}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = \frac{3}{4}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}, \quad \ctg \alpha = \frac{3\sqrt{7}}{7}$$

е) $x < 0$; $y = 2$; $R = 3$

Вычисление значения $x$:

Нужно найти значение $x$, зная $y$ и $R$:

$$x = -\sqrt{R^2 — y^2} = -\sqrt{9 — 4} = -\sqrt{5}$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Подставляем значения в формулы:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R} = \frac{2}{3}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \ctg \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$

ж) $x = -5$; $y < 0$; $R = 6$

Вычисление значения $y$:

Используем формулу для вычисления $y$:

$$y = -\sqrt{R^2 — x^2} = -\sqrt{36 — 25} = -\sqrt{11}$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

Подставляем значения:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R} = -\frac{\sqrt{11}}{6}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = -\frac{5}{6}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

Для тангенса и котангенса:

$$\tg \alpha = \frac{\sqrt{11}}{5}, \quad \ctg \alpha = \frac{5\sqrt{11}}{11}$$

з) $x > 0$; $y = -1$; $R = 2$

Вычисление значения $x$:

$$x = \sqrt{R^2 — y^2} = \sqrt{4 — 1} = \sqrt{3}$$

Вычисление синуса и косинуса угла $\alpha$:

$$\sin \alpha = \frac{y}{R} = -\frac{1}{2}, \quad \cos \alpha = \frac{x}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычисление тангенса и котангенса угла $\alpha$:

$$\tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg \alpha = -\sqrt{3}$$