ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 480 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите решения системы уравнений:

а)

$$\left\{ \begin{array}{l} (x+5)(y+2)=12 \\ 3(x+3)-5y=-7 \end{array} \right.$$

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} x(2x — y) + x = 0 \\ 2(4x — 3y) + 3y = 9 \end{array} \right.$$

в)

$$\left\{ \begin{array}{l} (2x — y)(2x + y) = 3 \\ 2y — 3(x + y) = -4 \end{array} \right.$$

г)

$$\{\begin{array}{l}2(x-y)+y=5\\ (2x-y{)}^2=5x+15\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\left\{ \begin{array}{l} (x+5)(y+2)=12 \\ 3(x+3)-5y=-7 \end{array} \right.$$

Второе уравнение:

$$3x+9-5y=-7$$

$$3x + 9 — 5y = -7$$ $$5y=16+3x$$

$$5y = 16 + 3x$$ $$y = \dfrac{16 + 3x}{5}$$

Первое уравнение:

$$(x+5)(\frac{16+3x}{5}+2)=12$$

$$(x+5)\left(\dfrac{16 + 3x}{5} + 2\right) = 12$$ $$(x+5)(16+3x+10)=60$$

$$(x+5)(16 + 3x + 10) = 60$$ $$(x+5)(3x+26)=60$$

$$(x+5)(3x + 26) = 60$$ $$3x^2+26x+15x+130=60$$

$$3x^2 + 26x + 15x + 130 = 60$$ $$3x^2+41x+70=0$$

$$3x^2 + 41x + 70 = 0$$ $$D={41}^2-4\cdot 3\cdot 70=1681-840=841$$

$$D = 41^2 — 4 \cdot 3 \cdot 70 = 1681 — 840 = 841$$ $$x_1=\frac{-41-29}{2\cdot 3}=-11\frac{2}{3},x_2=\frac{-41+29}{2\cdot 3}=-2$$

$$x_1 = \dfrac{-41 — 29}{2 \cdot 3} = -11\dfrac{2}{3},\quad x_2 = \dfrac{-41 + 29}{2 \cdot 3} = -2$$ $$y_1 = \dfrac{16 — 35}{5} = -3\dfrac{4}{5},\quad y_2 = \dfrac{16 — 6}{5} = \dfrac{10}{5} = 2$$

Ответ:

$$(-2; 2);\quad \left(-11\dfrac{2}{3};\ -3\dfrac{4}{5}\right)$$

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} x(2x — y) + x = 0 \\ 2(4x — 3y) + 3y = 9 \end{array} \right.$$

Второе уравнение:

$$8x-6y+3y=9$$

$$8x — 6y + 3y = 9$$ $$3y=8x-9$$

$$3y = 8x — 9$$ $$y = \dfrac{8x — 9}{3}$$

Первое уравнение:

$$x(2x-\frac{8x-9}{3})+x=0$$

$$x\left(2x — \dfrac{8x — 9}{3}\right) + x = 0$$ $$x(6x-8x+9)+3x=0$$

$$x(6x — 8x + 9) + 3x = 0$$ $$x(9-2x)+3x=0$$

$$x(9 — 2x) + 3x = 0$$ $$9x-2x^2+3x=0$$

$$9x — 2x^2 + 3x = 0$$ $$12x-2x^2=0$$

$$12x — 2x^2 = 0$$ $$2x(6-x)=0$$

$$2x(6 — x) = 0$$ $$x_1=0,x_2=6$$

$$x_1 = 0,\quad x_2 = 6$$ $$y_1 = -3,\quad y_2 = 13$$

Ответ:

$$(0; -3);\quad (6; 13)$$

в)

$$\left\{ \begin{array}{l} (2x — y)(2x + y) = 3 \\ 2y — 3(x + y) = -4 \end{array} \right.$$

Второе уравнение:

$$2y-3x-3y=-4$$

$$2y — 3x — 3y = -4$$ $$y = 4 — 3x$$

Первое уравнение:

$$4x^2-y^2=3$$

$$4x^2 — y^2 = 3$$ $$4x^2-(4-3x{)}^2=3$$

$$4x^2 — (4 — 3x)^2 = 3$$ $$4x^2-(16-24x+9x^2)=3$$

$$4x^2 — (16 — 24x + 9x^2) = 3$$ $$4x^2-16+24x-9x^2=3$$

$$4x^2 — 16 + 24x — 9x^2 = 3$$ $$-5x^2+24x-19=0$$

$$-5x^2 + 24x — 19 = 0$$ $$D={24}^2-4\cdot 5\cdot 19=576-380=196$$

$$D = 24^2 — 4 \cdot 5 \cdot 19 = 576 — 380 = 196$$ $$x_1=\frac{24-14}{2\cdot 5}=1,x_2=\frac{24+14}{2\cdot 5}=\frac{38}{10}=\mathrm{3,8}$$

$$x_1 = \dfrac{24 — 14}{2 \cdot 5} = 1,\quad x_2 = \dfrac{24 + 14}{2 \cdot 5} = \dfrac{38}{10} = 3{,}8$$ $$y_1 = 4 — 3 = 1,\quad y_2 = 4 — 11{,}4 = -7{,}4$$

Ответ:

$$(1; 1);\quad (3{,}8;\ -7{,}4)$$

г)

$$\left\{ \begin{array}{l} 2(x — y) + y = 5 \\ (2x — y)^2 = 5x + 15 \end{array} \right.$$

Первое уравнение:

$$2x-2y+y=5$$

$$2x — 2y + y = 5$$ $$2x-y=5$$

$$2x — y = 5$$ $$y = 2x — 5$$

Второе уравнение:

$$(2x-(2x-5){)}^2=5x+15$$

$$(2x — (2x — 5))^2 = 5x + 15$$ $$(2x-2x+5{)}^2=5x+15$$

$$(2x — 2x + 5)^2 = 5x + 15$$ $$25=5x+15$$

$$25 = 5x + 15$$ $$5x=10$$

$$5x = 10$$ $$x = 2,\quad y = 4 — 5 = -1$$

Ответ:

$$(2; -1)$$

а)

$$\left\{ \begin{array}{l} (x+5)(y+2)=12 \quad \text{(1)} \\ 3(x+3)-5y=-7 \quad \text{(2)} \end{array} \right.$$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение.

Раскрываем скобки:

$$3x + 9 — 5y = -7$$

Переносим все в правую часть:

$$-5y = -7 — 3x — 9 = -16 — 3x \Rightarrow 5y = 16 + 3x$$

Делим обе части на 5:

$$y = \frac{16 + 3x}{5}$$

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение.

Подставляем в первое уравнение (1):

$$(x + 5)\left(\frac{16 + 3x}{5} + 2\right) = 12$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{16 + 3x + 10}{5} = \frac{3x + 26}{5}$$

Тогда:

$$(x + 5)\cdot \frac{3x + 26}{5} = 12 \Rightarrow (x + 5)(3x + 26) = 60$$

Шаг 3: Раскроем скобки.

$$(x+5)(3x+26)=x\cdot 3x+x\cdot 26+5\cdot 3x+5\cdot 26$$

$$(x + 5)(3x + 26) = x\cdot 3x + x\cdot 26 + 5\cdot 3x + 5\cdot 26$$ $$= 3x^2 + 26x + 15x + 130 = 3x^2 + 41x + 130$$

Итак:

$$3x^2 + 41x + 130 = 60 \Rightarrow 3x^2 + 41x + 70 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

$$D={41}^2-4\cdot 3\cdot 70=1681-840=841$$

$$D = 41^2 — 4 \cdot 3 \cdot 70 = 1681 — 840 = 841$$ $$\sqrt{D}=29,x=\frac{-41\pm 29}{6}$$

$$\sqrt{D} = 29,\quad x = \frac{-41 \pm 29}{6}$$ $$x_1 = \frac{-41 — 29}{6} = \frac{-70}{6} = -\frac{35}{3} = -11\frac{2}{3},\quad x_2 = \frac{-41 + 29}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

Шаг 5: Найдём соответствующие значения $y$.

$$y = \frac{16 + 3x}{5}$$

• При $x = -\frac{35}{3}$:

$$y = \frac{16 + 3 \cdot \left(-\frac{35}{3}\right)}{5} = \frac{16 — 35}{5} = \frac{-19}{5} = -3\frac{4}{5}$$

• При $x = -2$:

$$y = \frac{16 + 3 \cdot (-2)}{5} = \frac{16 — 6}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

Ответ:

$$\boxed{(-2;\ 2);\quad \left(-11\frac{2}{3};\ -3\frac{4}{5}\right)}$$

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} x(2x — y) + x = 0 \quad \text{(1)} \\ 2(4x — 3y) + 3y = 9 \quad \text{(2)} \end{array} \right.$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение (2)

Раскрываем скобки:

$$8x — 6y + 3y = 9 \Rightarrow 8x — 3y = 9$$

Выразим $y$:

$$3y = 8x — 9 \Rightarrow y = \frac{8x — 9}{3}$$

Шаг 2: Подставим в первое уравнение.

$$x(2x — y) + x = 0 \Rightarrow x\left(2x — \frac{8x — 9}{3}\right) + x = 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$2x = \frac{6x}{3} \Rightarrow x\left(\frac{6x — 8x + 9}{3}\right) + x = 0 \Rightarrow x\cdot \frac{-2x + 9}{3} + x = 0$$

Домножим на 3 для избавления от знаменателя:

$$x(-2x+9)+3x=0\Rightarrow -2x^2+9x+3x=0\Rightarrow -2x^2+12x=0\Rightarrow 2x^2-12x=0$$

$$x(-2x + 9) + 3x = 0 \Rightarrow -2x^2 + 9x + 3x = 0 \Rightarrow -2x^2 + 12x = 0 \Rightarrow 2x^2 — 12x = 0$$ $$2x(x — 6) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\quad x_2 = 6$$

Шаг 3: Подставим значения $x$ в выражение для $y$

$$y = \frac{8x — 9}{3}$$

• При $x = 0$:

$$y = \frac{0 — 9}{3} = -3$$

• При $x = 6$:

$$y = \frac{48 — 9}{3} = \frac{39}{3} = 13$$

Ответ:

$$\boxed{(0;\ -3);\quad (6;\ 13)}$$

в)

$$\left\{ \begin{array}{l} (2x — y)(2x + y) = 3 \quad \text{(1)} \\ 2y — 3(x + y) = -4 \quad \text{(2)} \end{array} \right.$$

Шаг 1: Упростим второе уравнение

$$2y — 3x — 3y = -4 \Rightarrow -x — y = -4 \Rightarrow y = 4 — 3x$$

Шаг 2: Упростим первое уравнение

Используем формулу разности квадратов:

$$(2x — y)(2x + y) = 4x^2 — y^2 = 3$$

Подставим $y = 4 — 3x$:

$$4x^2 — (4 — 3x)^2 = 3$$

Найдём квадрат:

$$(4 — 3x)^2 = 16 — 24x + 9x^2 \Rightarrow 4x^2 — (16 — 24x + 9x^2) = 3$$

Раскроем скобки:

$$4x^2 — 16 + 24x — 9x^2 = 3 \Rightarrow -5x^2 + 24x — 16 = 3 \Rightarrow -5x^2 + 24x — 19 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$5x^2-24x+19=0$$

$$5x^2 — 24x + 19 = 0$$ $$D={24}^2-4\cdot 5\cdot 19=576-380=196\Rightarrow \sqrt{D}=14$$

$$D = 24^2 — 4 \cdot 5 \cdot 19 = 576 — 380 = 196 \Rightarrow \sqrt{D} = 14$$ $$x_1 = \frac{24 — 14}{10} = 1,\quad x_2 = \frac{24 + 14}{10} = \frac{38}{10} = 3{,}8$$

Шаг 4: Найдём $y$

• При $x = 1$:

$$y = 4 — 3 \cdot 1 = 1$$

• При $x = 3{,}8$:

$$y = 4 — 3 \cdot 3{,}8 = 4 — 11{,}4 = -7{,}4$$

Ответ:

$$\boxed{(1;\ 1);\quad (3{,}8;\ -7{,}4)}$$

г)

$$\left\{ \begin{array}{l} 2(x — y) + y = 5 \quad \text{(1)} \\ (2x — y)^2 = 5x + 15 \quad \text{(2)} \end{array} \right.$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение

$$2x — 2y + y = 5 \Rightarrow 2x — y = 5 \Rightarrow y = 2x — 5$$

Шаг 2: Подставим во второе уравнение

$$(2x-y{)}^2=5x+15\Rightarrow (2x-(2x-5){)}^2=5x+15\Rightarrow$$

$$(2x — y)^2 = 5x + 15 \Rightarrow (2x — (2x — 5))^2 = 5x + 15 \Rightarrow (5)^2 = 5x + 15 \Rightarrow 25 = 5x + 15 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$$

Подставим в $y = 2x — 5$:

$$y = 2 \cdot 2 — 5 = 4 — 5 = -1$$

Ответ:

$$\boxed{(2;\ -1)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{(-2;\ 2);\quad \left(-11\frac{2}{3};\ -3\frac{4}{5}\right)}$
б) $\boxed{(0;\ -3);\quad (6;\ 13)}$
в) $\boxed{(1;\ 1);\quad (3{,}8;\ -7{,}4)}$
г) $\boxed{(2;\ -1)}$