ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 227 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^4-5x^3+3x^2+7x-2=0;

б) x^4-4x^3+x^2+4x-2=0.

Решить уравнение:

а) ${}^{}$$x^4 — 5x^3 + 3x^2 + 7x — 2 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 3 & 7 & -2 \\ \hline -1 & 1 & -6 & 9 & -2 & 0 \\ \hline 2 & 1 & -4 & 1 & 0 & — \\ \hline \end{array}$$

$(x + 1)(x — 2)(x^2 — 4x + 1) = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12$, тогда:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3};$$

Ответ: $-1; 2; 2 \pm \sqrt{3}$.

б) ${}^{}$$x^4 — 4x^3 + x^2 + 4x — 2 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -4 & 1 & 4 & -2 \\ \hline -1 & 1 & -5 & 6 & -2 & 0 \\ \hline 1 & 1 & -4 & 2 & 0 & — \\ \hline \end{array}$$

$(x + 1)(x — 1)(x^2 — 4x + 2) = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8$, тогда:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};$$

Ответ: $-1; 1; 2 \pm \sqrt{2}$.

а) $x^4 — 5x^3 + 3x^2 + 7x — 2 = 0$

Шаг 1. Ищем рациональные корни (метод рациональных корней)

По теореме: возможные целые корни — делители свободного члена $-2$:

$$\pm1, \pm2$$

Проверим подстановкой:

Проверка $x = -1$:

$$(-1{)}^4-5(-1{)}^3+3(-1{)}^2+7(-1)-2=1+5+3-7-2=0\Rightarrow$$

$$(-1)^4 — 5(-1)^3 + 3(-1)^2 + 7(-1) — 2 = 1 + 5 + 3 — 7 — 2 = 0 \Rightarrow \text{Корень: } x = -1$$

Используем схему Горнера для деления многочлена на $x + 1$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 3 & 7 & -2 \\ \hline -1 & 1 & -6 & 9 & -2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Остаток = 0, значит делится. Получили:

$$(x + 1)(x^3 — 6x^2 + 9x — 2)$$

Шаг 2. Ищем корень в кубическом многочлене

Пробуем корни для $x^3 — 6x^2 + 9x — 2$

Возможные: $\pm1, \pm2$

Проверка $x = 2$:

$$8 — 24 + 18 — 2 = 0 \Rightarrow \text{Корень: } x = 2$$

Делим на $x — 2$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -6 & 9 & -2 \\ \hline 2 & 1 & -4 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Остаток 0. Получили:

$$(x + 1)(x — 2)(x^2 — 4x + 1)$$

Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения

$$x^2 — 4x + 1 = 0 \Rightarrow D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Ответ к а):

$$\boxed{x = -1;\quad 2;\quad 2 \pm \sqrt{3}}$$

б) $x^4 — 4x^3 + x^2 + 4x — 2 = 0$

Шаг 1. Пробуем рациональные корни

Возможные: $\pm1, \pm2$

Проверка $x = -1$:

$$1 + 4 + 1 — 4 — 2 = 0 \Rightarrow x = -1 — корень$$

Схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -4 & 1 & 4 & -2 \\ \hline -1 & 1 & -5 & 6 & -2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получили:

$$(x + 1)(x^3 — 5x^2 + 6x — 2)$$

Шаг 2. Пробуем ещё корень

Проверка $x = 1$:

$$1 — 5 + 6 — 2 = 0 \Rightarrow x = 1 — корень$$

Снова схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 6 & -2 \\ \hline 1 & 1 & -4 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Имеем:

$$(x + 1)(x — 1)(x^2 — 4x + 2)$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$x^2 — 4x + 2 = 0 \Rightarrow D = 16 — 8 = 8$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$$

Ответ к б):

$$\boxed{{\displaystyle x=-1;1;2\pm \sqrt{2}}}$$