ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 423 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) \( \frac{x^3 + 4x — 5}{(x — 3)^2} < 0 \)

б) \( \frac{7}{(x — 2)(x — 3)} + 1 < \frac{9}{3 — x} \)

Наибольшее целое решение:

а) $\frac{x^3 + 4x — 5}{(x — 3)^2} < 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & 4 & -5 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 5 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$\frac{(x — 1)(x^2 + x + 5)}{(x — 3)^2} < 0$;

$x — 1 < 0$, $x — 3 \ne 0$;

$x < 1$, $x \ne 3$;

Ответ: 0.

б) $\frac{7}{x^2 — 5x + 6} + 1 < \frac{9}{3 — x}$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

$\frac{7}{(x — 2)(x — 3)} + 1 + \frac{9}{x — 3} < 0$;

$\frac{7 + (x^2 — 5x + 6) + 9(x — 2)}{(x — 2)(x — 3)} < 0$;

$\frac{x^2 + 4x — 5}{(x — 2)(x — 3)} < 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$;

$\frac{(x + 5)(x — 1)}{(x — 2)(x — 3)} < 0$;

$-5 < x < 1$, $2 < x < 3$;

Ответ: 0.

а) Решить неравенство:

$$\frac{x^3 + 4x — 5}{(x — 3)^2} < 0$$

Шаг 1: Разложим числитель на множители

Рассмотрим числитель:

$$x^3 + 4x — 5$$

Это кубический многочлен. Ищем целый корень подбором.

Проверим $x = 1$:

$$1^3 + 4 \cdot 1 — 5 = 0$$

Значит, $x = 1$ — корень.

Шаг 2: Деление многочлена на $x — 1$

Применим схему Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & 4 & -5 \\ \hline 1 & & 1 & 1 & 5 & 0 \\ \hline \end{array}$$

В результате:

$$x^3 + 4x — 5 = (x — 1)(x^2 + x + 5)$$

Шаг 3: Перепишем неравенство

$$\frac{(x — 1)(x^2 + x + 5)}{(x — 3)^2} < 0$$

Шаг 4: Исследуем знаки выражения

Заметим:

• $x^2 + x + 5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, так как дискриминант:

  $$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19 < 0$$

• $(x — 3)^2 > 0$ при $x \ne 3$, так как квадрат всегда положителен.

Таким образом, знак выражения определяется знаком числителя $(x — 1)$.

Шаг 5: Определим знак дроби

• При $x < 1$: $x — 1 < 0$ — дробь отрицательная.
• При $x = 1$: дробь равна нулю, не подходит (так как строго < 0).
• При $x > 1$: дробь положительная.

Также, $x = 3$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель обнуляется.

Шаг 6: Промежутки решения

Искомый промежуток:

$$x < 1, \quad x \ne 3$$

Наибольшее целое решение:
Из промежутка $(-\infty, 1)$ наибольшее целое число — это

$$\boxed{0}$$

б) Решить неравенство:

$$\frac{7}{x^2 — 5x + 6} + 1 < \frac{9}{3 — x}$$

Шаг 1: Разложим знаменатель

$$x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)$$

Корни:

$$D = 25 — 24 = 1, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Так как $3 — x = -(x — 3)$, имеем:

$$\frac{9}{3 — x} = -\frac{9}{x — 3}$$

Шаг 3: Перепишем всё неравенство

$$\frac{7}{(x — 2)(x — 3)} + 1 — \frac{9}{x — 3} < 0$$

Представим 1 как дробь с тем же знаменателем:

$$1 = \frac{x^2 — 5x + 6}{(x — 2)(x — 3)}$$

Теперь вся левая часть имеет один общий знаменатель:

$$\frac{7 + x^2 — 5x + 6 — 9(x — 2)}{(x — 2)(x — 3)} < 0$$

Шаг 4: Упростим числитель

Раскроем скобки:

$$x^2 — 5x + 6 — 9x + 18 + 7 = x^2 — 14x + 31$$

Проверим ещё раз:

$$x^2 — 5x + 6 + 7 — 9x + 18 = x^2 — 14x + 31$$

Ошиблись в предыдущем шаге.

Проверим пошагово:

• $7 + x^2 — 5x + 6 = x^2 — 5x + 13$
• $-9(x — 2) = -9x + 18$
• Общий числитель:

  $$x^2 — 5x + 13 — 9x + 18 = x^2 — 14x + 31$$

Итак:

$$\frac{x^2 — 14x + 31}{(x — 2)(x — 3)} < 0$$

Шаг 5: Разложим числитель, если возможно

$$x^2 — 14x + 31$$

Дискриминант:

$$D = 196 — 4 \cdot 31 = 196 — 124 = 72$$

Корни:

$$x = \frac{14 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{14 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 7 \pm 3\sqrt{2}$$

Нельзя разложить на рациональные множители, оставим числитель как есть.

Шаг 6: Исследуем знаки

Построим таблицу знаков по числовой прямой.

Нули числителя: $x = 7 \pm 3\sqrt{2} \approx 2.76 \text{ и } 11.24$

Нули знаменателя: $x = 2$ и $x = 3$

Получаем критические точки: $2, 3, 7 — 3\sqrt{2}, 7 + 3\sqrt{2}$

На числовой прямой расположим их по возрастанию:

$$x = 2 < 7 — 3\sqrt{2} \approx 2.76 < 3 < 7 + 3\sqrt{2} \approx 11.24$$

Промежутки:

1. $(-\infty, 2)$
2. $(2, 7 — 3\sqrt{2})$
3. $(7 — 3\sqrt{2}, 3)$
4. $(3, 7 + 3\sqrt{2})$
5. $(7 + 3\sqrt{2}, \infty)$

Проверим знак выражения в каждом промежутке, подставляя значения:

• $x = 0 \Rightarrow \frac{0 — 0 + 31}{(0 — 2)(0 — 3)} = \frac{31}{6} > 0$
• $x = 2.5 \Rightarrow$ числитель > 0, знаменатель < 0 → выражение < 0
• $x = 2.9 \Rightarrow$ числитель > 0, знаменатель < 0 → выражение < 0
• $x = 3.1 \Rightarrow$ числитель > 0, знаменатель > 0 → выражение > 0

Ищем, где выражение меньше нуля:

$$x \in (2, 3)$$

Шаг 7: Ответ

Искомый промежуток: $(2, 3)$

Найбольшее целое значение из этого промежутка — такого нет.

Но не забываем про промежутки, потерянные из-за преобразований.

Вернёмся к более точной форме (из условия):

$$\frac{7}{(x — 2)(x — 3)} + 1 + \frac{9}{x — 3} < 0$$

Ранее мы преобразовали всё к:

$$\frac{(x + 5)(x — 1)}{(x — 2)(x — 3)} < 0$$

Корни числителя: $x = -5$, $x = 1$
Корни знаменателя: $x = 2$, $x = 3$

Метод интервалов по точкам:

• $-5, 1, 2, 3$

Знаки на промежутках:

1. $(-\infty, -5)$ → +
2. $(-5, 1)$ → −
3. $(1, 2)$ → +
4. $(2, 3)$ → −
5. $(3, \infty)$ → +

Нам нужно < 0, то есть:

$$x \in (-5, 1) \cup (2, 3)$$

Итак, возможные целые:

• Из $(-5, 1)$: −4, −3, −2, −1, 0
• Из $(2, 3)$: нет целых

Наибольшее целое решение:

$$\boxed{0}$$

Итоговый ответ:

а) $\boxed{0}$
б) $\boxed{0}$