ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 539 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а)

$$\{\begin{array}{l}3(\frac{1}{3}x-1)\le -\frac{1}{2}(2x+1);\\ 2x-3\ge x+4\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ge 1;\\ -x^2+6x\le 9\end{array}$$

Решить систему неравенств:

а)

$$\begin{cases} 3\left(\frac{1}{3}x — 1\right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1); \\ 2x — 3 \geq x + 4 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x — 3 \leq -x — 0{,}5; \\ 2x \leq 2{,}5,\quad x \leq 1{,}25;$$

Второе неравенство:

$$2x — x \geq 4 + 3,\quad x \geq 7;$$

Ответ: решений нет.

б)

$$\begin{cases} x^2 — 2x \geq 1; \\ -x^2 + 6x \leq 9 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\begin{gathered} x^2-2x-1\ge 0; \\ D=2^2+4\cdot 1=4+4=8,\text{ тогда:} \end{gathered}$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2};$$

$$x^2 — 2x — 1 \geq 0; \\ D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8,\text{ тогда:} \\ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}; \\ x \leq 1 — \sqrt{2},\quad x \geq 1 + \sqrt{2};$$

Второе неравенство:

$$x^2 — 6x + 9 \geq 0; \\ (x — 3)^2 \geq 0,\quad x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $(- \infty;\ 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2};\ +\infty)$.

а)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 3\left(\frac{1}{3}x — 1\right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1); \\ 2x — 3 \geq x + 4 \end{cases}$$

Шаг 1. Решим первое неравенство

$$3\left(\frac{1}{3}x — 1\right) \leq -\frac{1}{2}(2x + 1)$$

Раскроем скобки в левой части:

$$3 \cdot \left(\frac{1}{3}x\right) — 3 \cdot 1 = x — 3$$

Раскроем скобки в правой части:

$$-\frac{1}{2} \cdot 2x — \frac{1}{2} \cdot 1 = -x — \frac{1}{2}$$

Итак, неравенство преобразуется в:

$$x — 3 \leq -x — \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Переносим все слагаемые в одну сторону

Сложим обе части с $+x$:

$$x + x — 3 \leq -\frac{1}{2} \Rightarrow 2x — 3 \leq -\frac{1}{2}$$

Прибавим 3 к обеим частям:

$$2x \leq -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$$

Разделим на 2:

$$x \leq \frac{5}{4} = 1{,}25 \tag{1}$$

Шаг 3. Решим второе неравенство

$$2x — 3 \geq x + 4$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2x — 3 — x — 4 \geq 0 \Rightarrow x — 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 7 \tag{2}$$

Шаг 4. Найдём пересечение решений

Из (1): $x \leq 1{,}25$
Из (2): $x \geq 7$

Эти два множества не пересекаются, потому что:

$$x \leq 1{,}25 \quad \text{и одновременно} \quad x \geq 7 \Rightarrow \text{невозможно}$$

Ответ к пункту а:

Решений нет

б)

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2 — 2x \geq 1; \\ -x^2 + 6x \leq 9 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем первое неравенство

$$x^2 — 2x \geq 1 \Rightarrow x^2 — 2x — 1 \geq 0$$

Решим квадратное неравенство:

Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Найдём корни:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Знак выражения $x^2 — 2x — 1$ на числовой прямой:

Это парабола, ветви вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), значит:

$$x^2 — 2x — 1 \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 1 — \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x \geq 1 + \sqrt{2} \tag{3}$$

Шаг 2. Преобразуем второе неравенство

$$-x^2 + 6x \leq 9 \Rightarrow x^2 — 6x + 9 \geq 0 \quad \text{(умножим на -1 и поменяем знак неравенства)}$$

Это полный квадрат:

$$(x — 3)^2 \geq 0$$

Такое неравенство всегда выполняется при любом $x \in \mathbb{R}$

То есть:

$$x \in \mathbb{R} \tag{4}$$

Шаг 3. Пересечение решений (из (3) и (4))

Поскольку второе неравенство выполняется при любом $x$, то остаётся только первое:

$$x \in (-\infty;\ 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2};\ +\infty)$$

Ответ к пункту б:

$$(-\infty;\ 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2};\ +\infty)$$

Итоговый ответ:

а) Решений нет
б) $(-\infty;\ 1 — \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2};\ +\infty)$