ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 405 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^3-x-6=0; г) x^3+2x^2+3x+2=0;

б) x^3-5x+4=0; д) x^3-4x^2-4x-5=0;

в) x^3+4x^2-3x-2=0; е) x^4-4x^3+3x^2+4x-4=0.

Решить уравнение:

а)

$$x^3-x-6=0;$$

$$x^3 — x — 6 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 0& -1& -6\\ 2& 1& 2& 3& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & -1 & -6 \\ \hline 2 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-2)(x^2+2x+3)=0;$$

$$(x — 2)(x^2 + 2x + 3) = 0;$$ $$x — 2 = 0, \quad x = 2;$$

Ответ: $2$.

б)

$$x^3-5x+4=0;$$

$$x^3 — 5x + 4 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 0& -5& 4\\ 1& 1& 1& -4& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & -5 & 4 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-1)(x^2+x-4)=0;$$

$$(x — 1)(x^2 + x — 4) = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 = 1 + 16,$$

тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2};$$

Ответ: $1;\ \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

в)

$$x^3+4x^2-3x-2=0;$$

$$x^3 + 4x^2 — 3x — 2 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 4& -3& -2\\ 1& 1& 5& 2& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 4 & -3 & -2 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-1)(x^2+5x+2)=0;$$

$$(x — 1)(x^2 + 5x + 2) = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 = 25 — 8 = 17,$$

тогда:

$$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2};$$

Ответ: $1;\ \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

г)

$$x^3+2x^2+3x+2=0;$$

$$x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 2& 3& 2\\ -1& 1& 1& 2& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 2 \\ \hline -1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x+1)(x^2+x+2)=0;$$

$$(x + 1)(x^2 + x + 2) = 0;$$ $$x + 1 = 0, \quad x = -1;$$

Ответ: $-1$.

д)

$$x^3-4x^2-4x-5=0;$$

$$x^3 — 4x^2 — 4x — 5 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& -4& -4& -5\\ 5& 1& 1& 1& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -4 & -4 & -5 \\ \hline 5 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-5)(x^2+x+1)=0;$$

$$(x — 5)(x^2 + x + 1) = 0;$$ $$x — 5 = 0, \quad x = 5;$$

Ответ: $5$.

е)

$$x^4-4x^3+3x^2+4x-4=0;$$

$$x^4 — 4x^3 + 3x^2 + 4x — 4 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{cccccc}& 1& -4& 3& 4& -4\\ 1& 1& -3& 0& 4& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -4 & 3 & 4 & -4 \\ \hline 1 & 1 & -3 & 0 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$\overline{)\begin{array}{cccccc}& 1& -4& 3& 4& -4\\ -1& 1& -4& 4& 0& -\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -4 & 3 & 4 & -4 \\ \hline -1 & 1 & -4 & 4 & 0 & — \\ \hline \end{array}$$ $$(x+1)(x-1)(x^2-4x+4)=0;$$

$$(x + 1)(x — 1)(x^2 — 4x + 4) = 0;$$ $$(x+1)(x-1)(x-2{)}^2=0;$$

$$(x + 1)(x — 1)(x — 2)^2 = 0;$$ $$x_1 = -1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 2;$$

Ответ: $-1;\ 1;\ 2$.

а) Решить уравнение:

$$x^3 — x — 6 = 0$$

Шаг 1: Найдём рациональный корень

Возможные корни — делители свободного члена:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Пробуем $x = 2$:

$$2^3 — 2 — 6 = 8 — 2 — 6 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим многочлен на $(x — 2)$ методом Горнера

Итог:

$$x^3 — x — 6 = (x — 2)(x^2 + 2x + 3)$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$x^2 + 2x + 3 = 0$$ $$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 < 0 \Rightarrow \text{корней нет}$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$

б) Решить уравнение:

$$x^3 — 5x + 4 = 0$$

Шаг 1: Пробуем рациональные корни:

Делители свободного члена:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm4$$

Пробуем $x = 1$:

$$1^3 — 5 \cdot 1 + 4 = 1 — 5 + 4 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим многочлен на $(x — 1)$

Итог:

$$x^3 — 5x + 4 = (x — 1)(x^2 + x — 4)$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$x^2 + x — 4 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{1;\ \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}}$$

в) Решить уравнение:

$$x^3 + 4x^2 — 3x — 2 = 0$$

Шаг 1: Пробуем $x = 1$:

$$1^3 + 4 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 — 2 = 1 + 4 — 3 — 2 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим на $(x — 1)$

Итог:

$$x^3 + 4x^2 — 3x — 2 = (x — 1)(x^2 + 5x + 2)$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$x^2 + 5x + 2 = 0$$ $$D = 25 — 8 = 17$$ $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{1;\ \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}}$$

г) Решить уравнение:

$$x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0$$

Шаг 1: Пробуем $x = -1$:

$$(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 — 3 + 2 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим на $(x + 1)$

Итог:

$$x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x^2 + x + 2)$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow D = 1 — 8 = -7 < 0$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

д) Решить уравнение:

$$x^3 — 4x^2 — 4x — 5 = 0$$

Шаг 1: Пробуем $x = 5$:

$$5^3 — 4 \cdot 25 — 20 — 5 = 125 — 100 — 20 — 5 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим на $(x — 5)$

Итог:

$$x^3 — 4x^2 — 4x — 5 = (x — 5)(x^2 + x + 1)$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$x^2 + x + 1 = 0 \Rightarrow D = 1 — 4 = -3 < 0$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$

е) Решить уравнение:

$$x^4 — 4x^3 + 3x^2 + 4x — 4 = 0$$

Шаг 1: Пробуем $x = 1$:

$$1 — 4 + 3 + 4 — 4 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 2: Делим на $(x — 1)$

Остаток 0 ⇒ делится.

Остаток: $x^3 — 3x^2 + 0x + 4$

Шаг 3: Пробуем корень для нового многочлена: $x = -1$

$$(-1)^3 — 3(-1)^2 + 4 = -1 — 3 + 4 = 0 \quad \text{— подходит}$$

Шаг 4: Делим $x^3 — 3x^2 + 0x + 4$ на $(x + 1)$

Остаток: $x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2$

Итог:

$$x^4 — 4x^3 + 3x^2 + 4x — 4 = (x — 1)(x + 1)(x — 2)^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1;1;2}}$$