ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 637 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Напишите систему неравенств, которой задаётся:

а) квадрат с вершинами A(0; 3), В(-3; 0), С(0; —3) и D(3; 0);

б) треугольник с вершинами A(0; 4), B(—2; 0) и С(2; 0).

Найти систему, которой задается фигура с заданными вершинами:

а) \( A(0; 3), \quad B(-3; 0), \quad C(0; -3), \quad D(3; 0) \);

Уравнение прямой \( AD \):

\[
3 = 0k + b, \quad 3k + 3 = 0, \quad k = -1;
\]

Для точек фигуры в первой четверти выполняется:

\[
y \leq -x + 3, \quad x + y \leq 3;
\]

Для всего квадрата ответ: \(\begin{cases}x+y\leq3,\\-x+y\leq3,\\-x-y\leq3,\\x-y\leq3.\end{cases}\) Эквивалентно: \(|x|+|y|\leq3\).

б) \( A(0; 4), \quad B(-2; 0), \quad C(2; 0) \);

Уравнение для прямой \( AC \):

\[
4 = 0k + b, \quad 2k + 4 = 0, \quad k = -2;
\]

Для точек фигуры в первой четверти выполняется:

\[
y \leq -2x + 4, \quad y + 2x \leq 4;
\]

Ответ:
\[
\begin{cases}
y + 2|x| \leq 4 \\
y \geq 0
\end{cases}\]

а)
Даны вершины: \( A(0; 3), \quad B(-3; 0), \quad C(0; -3), \quad D(3; 0) \).

1. Найдем уравнение прямой \( AD \):

Прямая проходит через точки \( A(0; 3) \) и \( D(3; 0) \).

Сначала находим угловой коэффициент \( k \) с использованием формулы:
\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}
\]
где \( (x_1, y_1) = (0, 3) \), а \( (x_2, y_2) = (3, 0) \).

Подставляем значения:
\[
k = \frac{0 — 3}{3 — 0} = \frac{-3}{3} = -1
\]

Теперь находим свободный член \( b \) в уравнении прямой \( y = kx + b \). Подставляем точку \( A(0, 3) \) в уравнение:
\[
3 = -1 \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 3
\]

Таким образом, уравнение прямой \( AD \):
\[
y = -x + 3
\]

2. Ограничения для области:

Квадрат ограничен четырьмя сторонами. Прямые, содержащие эти стороны: \(x+y=3\), \(-x+y=3\), \(-x-y=3\), \(x-y=3\). Во всех случаях выбираем полуплоскость, содержащую центр квадрата \(O(0;0)\). Получаем систему:

\[
\begin{cases}
x+y\leq3,\\
-x+y\leq3,\\
-x-y\leq3,\\
x-y\leq3.
\end{cases}
\]
Ответ можно записать и одним неравенством: \(|x|+|y|\leq3\).

б)
Даны вершины: \( A(0; 4), \quad B(-2; 0), \quad C(2; 0) \).

1. Найдем уравнение прямой \( AC \):

Прямая проходит через точки \( A(0; 4) \) и \( C(2; 0) \).

Сначала находим угловой коэффициент \( k \):
\[
k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}
\]
где \( (x_1, y_1) = (0, 4) \), а \( (x_2, y_2) = (2, 0) \).

Подставляем значения:
\[
k = \frac{0 — 4}{2 — 0} = \frac{-4}{2} = -2
\]

Теперь находим свободный член \( b \) в уравнении прямой \( y = kx + b \). Подставляем точку \( A(0, 4) \) в уравнение:
\[
4 = -2 \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 4
\]

Таким образом, уравнение прямой \( AC \):
\[
y = -2x + 4
\]

2. Ограничения для области:

Третья сторона лежит на прямой \(AB\): \(y=2x+4\). Основание \(BC\) лежит на оси \(y=0\). Треугольник задаётся системой:
\[
\begin{cases}
y\geq0,\\
y\leq2x+4,\\
y\leq-2x+4.
\end{cases}
\]
Последние два неравенства вместе равносильны \(y+2|x|\leq4\).

Ответ:
\[
\begin{cases}
y + 2|x| \leq 4 \\
y \geq 0
\end{cases}\]