ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 215 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^3+9x-10=0; г) p^3-3p+2=0;

б) m^3-5m-2=0; д) 2t^3-t^2-1=0;

в) x^3+2x+3=0; е) 4x^3-5x+1=0.

Решить уравнение:

а) $x^3 + 9x — 10 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 9 & -10 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 10 & 0 \\ \end{array}$$

$(x — 1)(x^2 + x + 10) = 0$;
$x — 1 = 0, \; x = 1$;
Ответ: 1.

б) $m^3 — 5m — 2 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -5 & -2 \\ \hline -2 & 1 & -2 & -1 & 0 \\ \end{array}$$

$(m + 2)(m^2 — 2m — 1) = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8$, тогда:
$m = \dfrac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$;
Ответ: $-2; \; 1 \pm \sqrt{2}$.

в) $x^3 + 2x + 3 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline -1 & 1 & -1 & 3 & 0 \\ \end{array}$$

$(x + 1)(x^2 — x + 3) = 0$;
$x + 1 = 0, \; x = -1$;
Ответ: $-1$.

г) $p^3 — 3p + 2 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ \end{array}$$

$(p — 1)(p^2 + p — 2) = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$p_1 = \dfrac{-1 — 3}{2} = -2$ и $p_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$;
Ответ: $-2; \; 1$.

д) $2t^3 — t^2 — 1 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & -1 & 0 & -1 \\ \hline 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

$(t — 1)(2t^2 + t + 1) = 0$;
$t — 1 = 0, \; t = 1$;
Ответ: 1.

е) $4x^3 — 5x + 1 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 4 & 0 & -5 & 1 \\ \hline 1 & 4 & 4 & -1 & 0 \\ \end{array}$$

$(x — 1)(4x^2 + 4x — 1) = 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32$, тогда:
$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \dfrac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $1; \; \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

а) $x^3 + 9x — 10 = 0$

Шаг 1: Анализ уравнения

Уравнение кубическое, приведённое:

$$x^3 + 0x^2 + 9x — 10 = 0$$

Шаг 2: Используем теорему Виета или подбор корней

Пробуем рациональные корни (по теореме рациональных корней):
Корни — делители свободного члена $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$

Проверим $x = 1$:

$$1^3 + 9\cdot1 — 10 = 1 + 9 — 10 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Шаг 3: Делим многочлен на $x — 1$ с помощью схемы Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 9 & -10 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 10 & 0 \\ \end{array}$$

Расшифровка:

• Слева — корень $x = 1$
• Верхняя строка — коэффициенты исходного многочлена
• Нижняя строка — промежуточные вычисления:
  • Первый элемент: $1$
  • Далее: $0 + 1 \cdot 1 = 1$
  • Затем: $9 + 1 \cdot 1 = 10$
  • Наконец: $-10 + 1 \cdot 10 = 0$

Итог: деление без остатка.

Шаг 4: Получаем разложение

$$x^3 + 9x — 10 = (x — 1)(x^2 + x + 10)$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

$$x^2 + x + 10 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 — 40 = -39 < 0$$

Корней в действительных числах нет, только комплексные.

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б) $m^3 — 5m — 2 = 0$

Шаг 1: Кубическое уравнение

Приведённое:

$$m^3 + 0m^2 — 5m — 2 = 0$$

Шаг 2: Подбираем корни

Пробуем $m = -2$:

$$(-2)^3 — 5(-2) — 2 = -8 + 10 — 2 = 0 \Rightarrow m = -2 \text{ — корень}$$

Шаг 3: Делим на $m + 2$ по схеме Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -5 & -2 \\ \hline -2 & 1 & -2 & -1 & 0 \\ \end{array}$$

Пояснение:

• Первый элемент: $1$
• Далее: $0 + (-2)\cdot1 = -2$
• Затем: $-5 + (-2)\cdot(-2) = -5 + 4 = -1$
• Наконец: $-2 + (-2)\cdot(-1) = -2 + 2 = 0$

Шаг 4: Получаем разложение

$$m^3 — 5m — 2 = (m + 2)(m^2 — 2m — 1)$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$m^2 — 2m — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Корни:

$$m = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-2;\ 1 \pm \sqrt{2}}$$

в) $x^3 + 2x + 3 = 0$

Шаг 1: Приведённое уравнение

$$x^3 + 0x^2 + 2x + 3 = 0$$

Пробуем $x = -1$:

$$(-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 — 2 + 3 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ — корень}$$

Шаг 2: Схема Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline -1 & 1 & -1 & 3 & 0 \\ \end{array}$$

Остаток = 0

Шаг 3: Разложение

$$x^3 + 2x + 3 = (x + 1)(x^2 — x + 3)$$

Шаг 4: Квадратное уравнение

$$x^2 — x + 3 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4\cdot1\cdot3 = 1 — 12 = -11 < 0$$

Нет действительных корней.

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

г) $p^3 — 3p + 2 = 0$

Пробуем $p = 1$:

$$1^3 — 3\cdot1 + 2 = 1 — 3 + 2 = 0 \Rightarrow p = 1 \text{ — корень}$$

Схема Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ \end{array}$$

Разложение

$$p^3 — 3p + 2 = (p — 1)(p^2 + p — 2)$$

Квадратное уравнение

$$p^2 + p — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 + 4\cdot2 = 9$$

Корни:

$$p = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow p_1 = 1,\ p_2 = -2$$

Ответ:

$$\boxed{-2;\ 1}$$

д) $2t^3 — t^2 — 1 = 0$

Пробуем $t = 1$:

$$2(1)^3 — (1)^2 — 1 = 2 — 1 — 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \text{ — корень}$$

Схема Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 2 & -1 & 0 & -1 \\ \hline 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

Разложение

$$2t^3 — t^2 — 1 = (t — 1)(2t^2 + t + 1)$$

Квадратное уравнение

$$2t^2 + t + 1 = 0,\quad D = 1^2 — 4\cdot2\cdot1 = 1 — 8 = -7 < 0$$

Нет действительных корней

Ответ:

$$\boxed{1}$$

е) $4x^3 — 5x + 1 = 0$

Попробуем $x = 1$:

$$4(1)^3 — 5\cdot1 + 1 = 4 — 5 + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Схема Горнера

$$\begin{array}{c|cccc} & 4 & 0 & -5 & 1 \\ \hline 1 & 4 & 4 & -1 & 0 \\ \end{array}$$

Разложение

$$4x^3 — 5x + 1 = (x — 1)(4x^2 + 4x — 1)$$

Квадратное уравнение

$$4x^2 + 4x — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 4^2 + 4\cdot4 = 16 + 16 = 32$$

Корни:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1;\frac{-1\pm \sqrt{2}}{2}}}$$