ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 328 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) (x^2-4)|x|+3=0; в) 3/(|x|-2)-9/(|x|+3)=x^2/(x^2+|x|-6);

б) (p^2-7)|p|=-6; г) (x^2-4|x|-2)/(|x|-2x^2)=1.

а) $(x^2 — 4)|x| + 3 = 0$

$$|x|^3 — 4|x| + 3 = 0$$

Пусть $y = |x|$, тогда:

$$y^3 — 4y + 3 = 0$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & -4 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -3 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(y — 1)(y^2 + y — 3) = 0$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13$, тогда:

$$y_1 = \dfrac{-1 — \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$

Первое значение:

$$|x| = 1, \quad x = \pm 1$$

Второе значение:

$$|x| = \dfrac{\sqrt{13} — 1}{2}, \quad x = \pm \dfrac{\sqrt{13} — 1}{2}$$

Ответ: $-1; \, 1; \, \dfrac{\sqrt{13} — 1}{2}; \, \dfrac{1 — \sqrt{13}}{2}$.

б) $(p^2 — 7)|p| = -6$

$$|p|^3 — 7|p| + 6 = 0$$

Пусть $y = |p|$, тогда:

$$y^3 — 7y + 6 = 0$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 0 & -7 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 1 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(y — 1)(y^2 + y — 6) = 0$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$$y_1 = \dfrac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$$

Первое значение:

$$|x| = 1, \quad x = \pm 1$$

Второе значение:

$$|x| = 2, \quad x = \pm 2$$

Ответ: $-2; \, -1; \, 1; \, 2$.

в) $\dfrac{3}{|x| — 2} — \dfrac{9}{|x| + 3} = \dfrac{x^2}{x^2 + |x| — 6}$

Пусть $y = |x|$, тогда:

$$\dfrac{3}{y — 2} — \dfrac{9}{y + 3} = \dfrac{y^2}{y^2 + y — 6}$$ $$\dfrac{3}{y — 2} — \dfrac{9}{y + 3} = \dfrac{y^2}{(y + 3)(y — 2)}$$ $$3(y + 3) — 9(y — 2) = y^2$$ $$3y + 9 — 9y + 18 = y^2$$ $$y^2 + 6y — 27 = 0$$

$D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144$, тогда:

$$y_1 = \dfrac{-6 — 12}{2} = -9, \quad y_2 = \dfrac{-6 + 12}{2} = 3$$

Первое значение:

$$|x| = -9, \quad x \in \varnothing$$

Второе значение:

$$|x| = 3, \quad x = \pm 3$$

Ответ: $-3; \, 3$.

г) $\dfrac{x^2 — 4|x| — 2}{|x| — 2x^2} = 1$

Пусть $y = |x|$, тогда:

$$\dfrac{y^2 — 4y — 2}{y — 2y^2} = 1$$ $$\dfrac{y^2 — 4y — 2 — y + 2y^2}{2y^2 — y} = 0$$ $$\dfrac{3y^2 — 5y — 2}{y(2y — 1)} = 0$$

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$$y_1 = \dfrac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\dfrac{1}{3}, \quad y_2 = \dfrac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{12}{6} = 2$$

Первое значение:

$$|x| = -\dfrac{1}{3}, \quad x \in \varnothing$$

Второе значение:

$$|x| = 2, \quad x = \pm 2$$

Ответ: $-2; \, 2$.

а) $(x^2 — 4)|x| + 3 = 0$

Шаг 1: Изменим переменные для удобства

Уравнение можно переписать в виде:

$$|x|^3 — 4|x| + 3 = 0$$

Пусть $y = |x|$. Подставим это в уравнение:

$$y^3 — 4y + 3 = 0$$

Теперь решаем кубическое уравнение относительно $y$.

Шаг 2: Разложение на множители

Для решения кубического уравнения воспользуемся методом подбора корней. Пробуем найти возможные рациональные корни, подставив $y = 1$:

$$1^3 — 4 \cdot 1 + 3 = 1 — 4 + 3 = 0$$

Это значит, что $y = 1$ — корень уравнения. Теперь разложим кубическое уравнение на множители:

$$y^3 — 4y + 3 = (y — 1)(y^2 + y — 3)$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение:

$$y^2 + y — 3 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$ этого уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$$

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле:

$$y = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{13}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$

Шаг 4: Решение для $|x|$

Теперь рассматриваем два случая для $y = |x|$:

Первое значение: $y = 1$

Если $|x| = 1$, то $x = \pm 1$.

Второе значение: $y = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$

Если $|x| = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$, то $x = \pm \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.

Шаг 5: Итоговый ответ

Ответ для данного уравнения:

$$-1; \, 1; \, \frac{\sqrt{13} — 1}{2}; \, \frac{1 — \sqrt{13}}{2}$$

б) $(p^2 — 7)|p| = -6$

Шаг 1: Изменим переменные для удобства

Перепишем уравнение в виде:

$$|p|^3 — 7|p| + 6 = 0$$

Пусть $y = |p|$, тогда у нас получается:

$$y^3 — 7y + 6 = 0$$

Шаг 2: Разложение на множители

Применяем метод подбора корней и подставляем $y = 1$:

$$1^3 — 7 \cdot 1 + 6 = 1 — 7 + 6 = 0$$

Это значит, что $y = 1$ — корень уравнения. Теперь разложим уравнение на множители:

$$y^3 — 7y + 6 = (y — 1)(y^2 + y — 6)$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Шаг 4: Решение для $|p|$

Теперь рассматриваем два случая для $y = |p|$:

Первое значение: $y = 1$

Если $|p| = 1$, то $p = \pm 1$.

Второе значение: $y = 2$

Если $|p| = 2$, то $p = \pm 2$.

Шаг 5: Итоговый ответ

Ответ для данного уравнения:

$$-2; \, -1; \, 1; \, 2$$

в) $\frac{3}{|x| — 2} — \frac{9}{|x| + 3} = \frac{x^2}{x^2 + |x| — 6}$

Шаг 1: Изменим переменные для удобства

Пусть $y = |x|$, тогда уравнение переписывается в виде:

$$\frac{3}{y — 2} — \frac{9}{y + 3} = \frac{y^2}{y^2 + y — 6}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{3}{y — 2} — \frac{9}{y + 3} = \frac{y^2}{(y + 3)(y — 2)}$$

Шаг 2: Умножаем обе стороны на $(y + 3)(y — 2)$

Умножаем обе стороны уравнения на $(y + 3)(y — 2)$:

$$3(y + 3) — 9(y — 2) = y^2$$

Раскрываем скобки:

$$3y + 9 — 9y + 18 = y^2$$

Упрощаем:

$$y^2 + 6y — 27 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$y^2 + 6y — 27 = 0$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$$

Корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-6 — 12}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-6 + 12}{2} = 3$$

Шаг 4: Решение для $|x|$

Теперь рассматриваем два случая для $y = |x|$:

Первое значение: $y = -9$

Поскольку $|x| \geq 0$, то $y = -9$ не имеет решений.

Второе значение: $y = 3$

Если $|x| = 3$, то $x = \pm 3$.

Шаг 5: Итоговый ответ

Ответ для данного уравнения:

$$-3; \, 3$$

г) $\frac{x^2 — 4|x| — 2}{|x| — 2x^2} = 1$

Шаг 1: Изменим переменные для удобства

Пусть $y = |x|$, тогда уравнение переписывается в виде:

$$\frac{y^2 — 4y — 2}{y — 2y^2} = 1$$

Приводим все в одну сторону:

$$\frac{y^2 — 4y — 2 — y + 2y^2}{2y^2 — y} = 0$$

Упрощаем:

$$\frac{3y^2 — 5y — 2}{y(2y — 1)} = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Решаем уравнение $3y^2 — 5y — 2 = 0$. Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = 2$$

Шаг 3: Решение для $|x|$

Теперь рассматриваем два случая для $y = |x|$:

Первое значение: $y = -\frac{1}{3}$

Поскольку $|x| \geq 0$, то $y = -\frac{1}{3}$ не имеет решений.

Второе значение: $y = 2$

Если $|x| = 2$, то $x = \pm 2$.

Шаг 4: Итоговый ответ

Ответ для данного уравнения:

$$-2; \, 2$$

Итоговые ответы:

а) $-1; \, 1; \, \frac{\sqrt{13} — 1}{2}; \, \frac{1 — \sqrt{13}}{2}$

б) $-2; \, -1; \, 1; \, 2$

в) $-3; \, 3$

г) $-2; \, 2$