ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 406 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = 2x^3 — x^2 — x$, $y = 6x — 6$;

б) $y = x^3 + 3x^2 — x$, $y = x^2 + 28x — 42$

Найти точки пересечения:

а) $y = 2x^3 — x^2 — x$, $y = 6x — 6$;
$2x^3 — x^2 — x = 6x — 6$;
$2x^3 — x^2 — 7x + 6 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -1 & -7 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 1 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 1)(2x^2 + x — 6) = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2$ и $x_2 = \dfrac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 1,5$;
$y(1) = 0$, $y(-2) = -18$, $y(1,5) = 3$;
Ответ: $(-2; -18); (1; 0); (1,5; 3)$.

б) $y = x^3 + 3x^2 — x$, $y = x^2 + 28x — 42$;
$x^3 + 3x^2 — x = x^2 + 28x — 42$;
$x^3 + 2x^2 — 29x + 42 = 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & -29 & 42 \\ \hline 2 & 1 & 4 & -21 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 2)(x^2 + 4x — 21) = 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100$, тогда:
$x_1 = \dfrac{-4 — 10}{2} = -7$ и $x_2 = \dfrac{-4 + 10}{2} = 3$;
$y(2) = 18$, $y(-7) = -189$, $y(3) = 51$;
Ответ: $(2; 18); (-7; -189); (3; 51)$.

а) Найти точки пересечения графиков:

$$y = 2x^3 — x^2 — x \quad \text{и} \quad y = 6x — 6$$

Шаг 1: приравниваем правые части уравнений

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить уравнение:

$$2x^3 — x^2 — x = 6x — 6$$

Шаг 2: переносим всё в одну часть уравнения

Перенесём все слагаемые в левую часть (в правой оставим 0):

$$2x^3 — x^2 — x — 6x + 6 = 0$$

Сгруппируем подобные члены:

$$2x^3 — x^2 — 7x + 6 = 0$$

Получили кубическое уравнение:

$$2x^3 — x^2 — 7x + 6 = 0$$

Шаг 3: решаем уравнение методом подбора корня (теорема Виета / схема Горнера)

Проверим, какой корень подходит:

Подставим $x = 1$ в уравнение:

$$2(1)^3 — (1)^2 — 7(1) + 6 = 2 — 1 — 7 + 6 = 0$$

Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

Теперь делим многочлен на $(x — 1)$, чтобы разложить его на множители. Используем схему Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -1 & -7 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 1 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Объяснение схемы Горнера:

1. Сверху: коэффициенты многочлена:
   $2x^3 — 1x^2 — 7x + 6 \Rightarrow$ $2, -1, -7, 6$
2. Слева: корень, на который делим: $x = 1$
3. Внизу: результат деления — коэффициенты частного многочлена:
   $2x^2 + 1x — 6$

Шаг 4: разложение уравнения на множители

$$2x^3 — x^2 — 7x + 6 = (x — 1)(2x^2 + x — 6)$$

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$2x^2 + x — 6 = 0$$

Шаг 5: находим дискриминант квадратного уравнения

$$D = b^2 — 4ac = (1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 6: находим корни по формуле

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 7}{4}$$

1. $x_1 = \frac{-1 — 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
2. $x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Шаг 7: находим значения $y$ для каждого найденного $x$

Подставим в любое исходное уравнение, например $y = 6x — 6$:

• $x = 1$:
  $y = 6 \cdot 1 — 6 = 0$ → $(1; 0)$
• $x = -2$:
  $y = 6 \cdot (-2) — 6 = -12 — 6 = -18$ → $(-2; -18)$
• $x = 1.5$:
  $y = 6 \cdot 1.5 — 6 = 9 — 6 = 3$ → $(1.5; 3)$

Ответ:

$$\boxed{(-2; -18);\quad (1; 0);\quad (1{,}5; 3)}$$

б) Найти точки пересечения графиков:

$$y = x^3 + 3x^2 — x \quad \text{и} \quad y = x^2 + 28x — 42$$

Шаг 1: приравниваем правые части

$$x^3 + 3x^2 — x = x^2 + 28x — 42$$

Шаг 2: переносим все члены в одну сторону

$$x^3 + 3x^2 — x — x^2 — 28x + 42 = 0$$

Группируем:

$$x^3 + 2x^2 — 29x + 42 = 0$$

Шаг 3: найдём корень методом подбора

Пробуем $x = 2$:

$$1(2)^3 + 2(2)^2 — 29(2) + 42 = 8 + 8 — 58 + 42 = 0$$

Значит, $x = 2$ — корень.

Применим схему Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & -29 & 42 \\ \hline 2 & 1 & 4 & -21 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получили частное: $x^2 + 4x — 21$

Шаг 4: разложим многочлен

$$x^3 + 2x^2 — 29x + 42 = (x — 2)(x^2 + 4x — 21)$$

Шаг 5: найдём корни квадратного уравнения

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$$

1. $x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
2. $x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Шаг 6: найдём $y$ для каждого $x$

Подставим в любое уравнение, например:
$y = x^2 + 28x — 42$

• $x = 2$:
  $y = 4 + 56 — 42 = 18$ → $(2; 18)$
• $x = -7$:
  $y = 49 — 196 — 42 = -189$ → $(-7; -189)$
• $x = 3$:
  $y = 9 + 84 — 42 = 51$ → $(3; 51)$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (2;18);(-7;-189);(3;51)}}$$