ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 358 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^3 — 15x + 14 = 0$;

б) $x^3 — x^2 — 7x — 5 = 0$

Решить уравнение:

а) $x^3 — 15x + 14 = 0$;
$x^3 — x — 14x + 14 = 0$;
$x(x^2 — 1) — 14(x — 1) = 0$;
$x(x — 1)(x + 1) — 14(x — 1) = 0$;
$(x — 1)(x^2 + x — 14) = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 14 = 1 + 56 = 57$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{57}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2}$;

Ответ: $1; \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2}$.

б) $x^3 — x^2 — 7x — 5 = 0$;

$(x + 1)(x^2 — 2x — 5) = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24$, тогда:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$;

Ответ: $-1; 1 \pm \sqrt{6}$.

а) $x^3 — 15x + 14 = 0$

Для решения кубического уравнения используем метод группировки и выделения общих множителей.

Шаг 1: Попробуем сгруппировать выражения

Итак, начнем с уравнения:

$$x^3 — 15x + 14 = 0$$

Рассмотрим это уравнение в виде:

$$x^3 — x — 14x + 14 = 0$$

Теперь, сгруппируем термины для выделения общего множителя:

$$x(x^2 — 1) — 14(x — 1) = 0$$

Шаг 2: Выделяем общий множитель

Далее, заметим, что $(x — 1)$ встречается в обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$$(x — 1)(x^2 + x — 14) = 0$$

Теперь у нас есть два множителя: $(x — 1)$ и $(x^2 + x — 14)$. Чтобы уравнение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Шаг 3: Решаем линейное уравнение

Первое уравнение:

$$x — 1 = 0$$

Отсюда:

$$x = 1$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + x — 14 = 0$. Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Где:

• $a = 1$
• $b = 1$
• $c = -14$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{57}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2}$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, корни уравнения $x^3 — 15x + 14 = 0$ следующие:

$$x = 1 \quad \text{или} \quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2}$$

б) $x^3 — x^2 — 7x — 5 = 0$

Для этого уравнения используем метод подбора возможных целых корней и затем разложение на множители.

Шаг 1: Попробуем найти целые корни с помощью теоремы о целых корнях

Теорема о целых корнях говорит, что если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем свободного члена (в данном случае -5), деленным на делитель старшего коэффициента (в данном случае 1). Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 5$.

Шаг 2: Подставляем $x = -1$ в уравнение

Подставим $x = -1$ в уравнение $x^3 — x^2 — 7x — 5 = 0$:

$$(-1)^3 — (-1)^2 — 7(-1) — 5 = -1 — 1 + 7 — 5 = 0$$

Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения.

Шаг 3: Делим на $(x + 1)$

Теперь разложим кубическое уравнение на множители, используя $x + 1$ как один из множителей. Для этого выполним деление многочлена $x^3 — x^2 — 7x — 5$ на $(x + 1)$.

Для деления многочлена используем схему деления столбиком. После деления получаем:

$$x^3 — x^2 — 7x — 5 = (x + 1)(x^2 — 2x — 5)$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 — 2x — 5 = 0$. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Где:

• $a = 1$
• $b = -2$
• $c = -5$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, корни уравнения $x^3 — x^2 — 7x — 5 = 0$ следующие:

$$x = -1 \quad \text{или} \quad x = 1 \pm \sqrt{6}$$

Итоговый ответ:

а) $1; \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2}$
б) $-1; 1 \pm \sqrt{6}$