ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1609 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Зная, что \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) = a \), найдите:

а) \( \frac{1 + \cos(2\alpha)}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \);

б) \( \sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) \).

Известно следующее:

\( \sin a + \cos a = a; \)

\( a^2 = (\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a; \)

\( 2 \sin a \cos a = a^2 — 1, \quad \sin a \cos a = \frac{a^2 — 1}{2}; \)

а) \( \frac{1 + \cos 2a}{\cot \frac{a}{2} — \tan \frac{a}{2}} = \frac{1 + 2 \cos^2 \frac{a}{2} — 1}{\frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} — \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} } = \)

\( = \frac{2 \cos^2 \frac{a}{2} \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}} = \frac{\sin a \cos^2 \frac{a}{2}}{\cos a} = \)

\( = \sin a \cos a = \frac{a^2 — 1}{2}; \)

б) \( \sin^6 a + \cos^6 a = \)

\( = (\sin^2 a + \cos^2 a)(\sin^4 a — \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a) = \)

\( = (\sin^2 a + \cos^2 a)^3 — 3 \sin^2 a \cos^2 a = 1 — 3 \cdot \frac{(a^2 — 1)^2}{4} = \)

\( = \frac{4 — 3a^4 + 6a^2 — 3}{4} = \frac{6a^2 — 3a^4 + 1}{4}; \)

Задача: Зная, что \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) = a \), найдите:

а) \( \frac{1 + \cos(2\alpha)}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \);

Решение:

Известно, что:

\[
\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = a.
\]

Теперь вычислим \( \cos(2\alpha) \) с использованием тригонометрической идентичности для удвоенного угла:

\[
\cos(2\alpha) = 2 \cos^2(\alpha) — 1.
\]

Теперь выразим \( \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \). Для этого будем использовать известные формулы для тангенса и котангенса половинного угла:

\[
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\cos(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}, \quad \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.
\]

Теперь вычислим разницу:

\[
\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\cos(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} — \frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.
\]

Приведем к общему знаменателю и упростим:

\[
\frac{1 + \cos(2\alpha)}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1 + 2 \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) — 1}{\frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} — \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}.
\]

Решив это, получаем:

\[
= \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} — \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin(\alpha) \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos(\alpha)}.
\]

В итоге получаем:

\[
= \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{a^2 — 1}{2}.
\]

Ответ: \( \frac{1 + \cos(2\alpha)}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{a^2 — 1}{2}. \)

б) \( \sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) \);

Решение:

Используем формулу для суммы степеней синуса и косинуса:

\[
\sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))^3 -\]

\[3 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)).
\]

Так как \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), выражение упрощается до:

\[
\sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) = 1 — 3 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha).
\]

Теперь выразим \( \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) \) через \( a \). Мы знаем, что:

\[
\sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) = \left( \frac{a^2 — 1}{4} \right).
\]

Таким образом, получаем:

\[
\sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) = 1 — 3 \cdot \frac{(a^2 — 1)^2}{4}.
\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[
\sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) = \frac{4 — 3a^4 + 6a^2 — 3}{4} = \frac{6a^2 — 3a^4 + 1}{4}.
\]

Ответ: \( \sin^6(\alpha) + \cos^6(\alpha) = \frac{6a^2 — 3a^4 + 1}{4}. \)