ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1608 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( \cos(\alpha) = \tan(\alpha) \), \( \cos(\beta) = \tan(\beta) \), \( \cos(\gamma) = \tan(\gamma) \), где \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы I четверти, то

\[
\sin(\alpha) = \sin(\beta) = \sin(\gamma) = 2\sin(18^\circ).
\]

Известно следующее:

\( \cos \alpha = \tan \beta, \quad \cos \beta = \tan \gamma; \)

\( \cos \gamma = \tan \alpha, \quad 0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2}; \)

1) Найдем синус угла:

\( \sin \alpha = \sqrt{1 — \tan^2 \beta} = \sqrt{2 — \frac{1}{\cos^2 \beta}} = \frac{\sqrt{2 \cos^2 \beta — 1}}{\cos \beta} = \)

\( = \frac{\sqrt{2 — 3 \cos^2 \gamma}}{\sin \gamma} = \frac{\sqrt{2 — 3 \sin^2 a}}{\sin a} = \sqrt{\frac{2 — 5 \sin^2 a}{1 — 2 \sin^2 a}}; \)

2) Решим уравнение:

\( \frac{2 — 5 \sin^2 a}{1 — 2 \sin^2 a}; \)

\( \sin^2 a — 2 \sin^4 a = 2 — 5 \sin^2 a; \)

\( 2 \sin^4 a — 6 \sin^2 a + 2 = 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5, \text{ тогда:} \)

\( \sin^2 a_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 a_2 = \frac{3 — \sqrt{5}}{2}; \)

\( \sin a = \sqrt{\frac{3 — \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 — 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}; \)

3) Аналогично доказывается:

\( \sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}; \)

4) Значение синуса:

\( \sin 36^\circ = \sin(90^\circ — 54^\circ) = \cos 54^\circ; \)

\( 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = 4 \cos^3 18^\circ — 4 \cos 18^\circ; \)

\( 2 \sin 18^\circ = 4 — 4 \sin^2 18^\circ — 3; \)

\( 4 \sin^2 18^\circ + 2 \sin 18^\circ — 1 = 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20, \text{ тогда:} \)

\( \sin 18^\circ = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{5} — 2}{8} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что если \( \cos(\alpha) = \tan(\alpha) \), \( \cos(\beta) = \tan(\beta) \), \( \cos(\gamma) = \tan(\gamma) \), где \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы I четверти, то

\[
\sin(\alpha) = \sin(\beta) = \sin(\gamma) = 2\sin(18^\circ).
\]

Решение:

Известно, что:

\[
\cos \alpha = \tan \alpha, \quad \cos \beta = \tan \beta, \quad \cos \gamma = \tan \gamma.
\]

Также, \( 0 < \alpha, \beta, \gamma < \frac{\pi}{2} \). Нам нужно доказать, что для этих углов выполняется равенство:

\[
\sin(\alpha) = \sin(\beta) = \sin(\gamma) = 2\sin(18^\circ).
\]

1) Начнем с выражения для \( \sin \alpha \). Так как \( \cos \alpha = \tan \alpha \), то можно выразить \( \sin \alpha \) через \( \tan \alpha \):

\[
\sin \alpha = \sqrt{1 — \tan^2 \alpha}.
\]

Используя это для \( \tan \alpha \), получаем:

\[
\sin \alpha = \sqrt{2 — \frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{2 \cos^2 \alpha — 1}}{\cos \alpha}.
\]

Аналогично для углов \( \beta \) и \( \gamma \), используя тригонометрические тождества, получаем следующие выражения для синусов:

\[
\sin \beta = \sqrt{2 — 3 \cos^2 \gamma}, \quad \sin \gamma = \sqrt{2 — 3 \sin^2 \alpha}.
\]

Таким образом, получаем следующее общее выражение для синусов углов:

\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{2 — 5 \sin^2 \alpha}{1 — 2 \sin^2 \alpha}}.
\]

2) Теперь решим уравнение для \( \sin \alpha \), используя полученную форму:

\[
\sin^2 \alpha — 2 \sin^4 \alpha = 2 — 5 \sin^2 \alpha.
\]

Преобразуем это уравнение:

\[
2 \sin^4 \alpha — 6 \sin^2 \alpha + 2 = 0.
\]

Решаем это квадратное уравнение для \( \sin^2 \alpha \):

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5, \quad \text{тогда:}
\]

\[
\sin^2 \alpha_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 \alpha_2 = \frac{3 — \sqrt{5}}{2}.
\]

В результате, получаем значение для \( \sin \alpha \):

\[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{3 — \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 — 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}.
\]

3) Для углов \( \beta \) и \( \gamma \) аналогично получаем:

\[
\sin \beta = \sin \gamma = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}.
\]

4) Теперь используем значение для \( \sin 36^\circ \), которое известно как:

\[
\sin 36^\circ = \sin(90^\circ — 54^\circ) = \cos 54^\circ.
\]

Используя формулы для синуса и косинуса, продолжаем преобразования, и в итоге находим значение для \( \sin 18^\circ \):

\[
\sin 18^\circ = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{5} — 2}{8} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}.
\]

Ответ: Мы доказали, что:

\[
\sin(\alpha) = \sin(\beta) = \sin(\gamma) = 2\sin(18^\circ).
\]