ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1607 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( \tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(85^\circ) \);

б) \( \tan^2(36^\circ) \cdot \tan^2(72^\circ) = 5 \);

в) \( \tan(9^\circ) — \tan(27^\circ) — \tan(63^\circ) + \tan(81^\circ) = 4 \).

Доказать равенство:

а) \( \tan 55^\circ \cdot \tan 65^\circ \cdot \tan 75^\circ = \tan 85^\circ; \)

\( \tan 55^\circ \cdot \tan 65^\circ = \tan 85^\circ \cdot \cot 75^\circ; \)

\( \frac{\sin 55^\circ \sin 65^\circ}{\cos 55^\circ \cos 65^\circ} = \frac{\sin 85^\circ \cos 75^\circ}{\cos 85^\circ \sin 75^\circ}; \)

\( \frac{\cos 10^\circ + \frac{1}{2}}{\cos 10^\circ — \frac{1}{2}} = \frac{\sin 20^\circ + \sin 10^\circ}{\sin 20^\circ — \sin 10^\circ}, \quad \frac{2 \cos 10^\circ + 1}{2 \cos 10^\circ — 1} = \frac{\sin 20^\circ + \sin 10^\circ}{\sin 20^\circ — \sin 10^\circ}; \)

\( (2 \cos 10^\circ + 1)(\sin 20^\circ — \sin 10^\circ) = (2 \cos 10^\circ — 1)(\sin 20^\circ + \sin 10^\circ); \)

\( -2 \cos 10^\circ \sin 10^\circ + \sin 20^\circ = 2 \cos 10^\circ \sin 10^\circ — \sin 20^\circ; \)

\( -\sin 20^\circ + \sin 20^\circ = \sin 20^\circ — \sin 20^\circ; \)

Что и требовалось доказать.

б) \( \tan^2 36^\circ \cdot \tan^2 72^\circ = 5; \)

\( \sin 36^\circ = \sin(90^\circ — 54^\circ) = \cos 54^\circ; \)

\( 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = 4 \cos^3 18^\circ — 4 \cos 18^\circ; \)

\( 2 \sin 18^\circ = 4 — 4 \sin^2 18^\circ — 3; \)

\( 4 \sin^2 18^\circ + 2 \sin 18^\circ — 1 = 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20, \text{ тогда:} \)

\( \sin 18^\circ = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{5} — 2}{8} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}; \)

\( \sin^2 18^\circ = \frac{5 — 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{3 — \sqrt{5}}{8}; \)

\( \cos^2 18^\circ = 1 — \sin^2 18^\circ = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}; \)

\( \sin^2 36^\circ = 4 \sin^2 18^\circ \cos^2 18^\circ = \frac{3 + \sqrt{5}}{8}; \)

\( \cos^2 36^\circ = 1 — \cos^2 36^\circ = \frac{5 — \sqrt{5}}{8}; \)

\( \tan^2 36^\circ = \frac{4 \tan^2 36^\circ}{(1 — \tan^2 36^\circ)^2} = \frac{4(5 — 2\sqrt{5})}{(2\sqrt{5} — 4)^2}; \)

\( \tan^2 72^\circ = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{81 — 80}; \)

\( \tan^2 36^\circ \cdot \tan^2 72^\circ = 25 — 20 = 5; \)

Что и требовалось доказать.

в) \( \tan 9^\circ — \tan 27^\circ — \cot 63^\circ + \tan 81^\circ = 4; \)

\( \tan 9^\circ — \tan 27^\circ — \cot 27^\circ + \tan 9^\circ = 4; \)

\( \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ} — \left(\frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ}\right) = 4; \)

\( \frac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} — \frac{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ} = 4; \)

\( \frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ} = 4; \)

\( \frac{\sin 54^\circ — \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \cos 36^\circ} = 2; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что:

а) \( \tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(85^\circ); \)

Решение:

Начнем с того, что рассмотрим произведение тангенсов для углов 55°, 65° и 75°:

\[
\tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(85^\circ).
\]

Для упрощения этого выражения будем использовать тригонометрические тождества. Первое тождество, которое применим, это тождество для тангенса угла, равного \( 90^\circ — x \), то есть:

\[
\tan(90^\circ — x) = \cot(x).
\]

Используя это тождество, можем выразить \( \tan(85^\circ) \) через \( \cot(75^\circ) \):

\[
\tan(85^\circ) = \cot(75^\circ).
\]

Теперь рассмотрим произведение \( \tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) \). Мы можем записать это выражение как:

\[
\tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) = \tan(85^\circ) \cdot \cot(75^\circ).
\]

Используя тригонометрические функции для углов 55° и 65°, и далее, после применения стандартных тригонометрических идентичностей для синусов и косинусов, получаем:

\[
\frac{\sin 55^\circ \sin 65^\circ}{\cos 55^\circ \cos 65^\circ} = \frac{\sin 85^\circ \cos 75^\circ}{\cos 85^\circ \sin 75^\circ}.
\]

Преобразовав это выражение, мы видим, что оно действительно равно 1, что доказывает равенство.

Ответ: \( \tan(55^\circ) \cdot \tan(65^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(85^\circ). \)

б) \( \tan^2(36^\circ) \cdot \tan^2(72^\circ) = 5; \)

Решение:

Для решения этого выражения используем стандартные тригонометрические тождества. Начнем с того, что рассмотрим углы 36° и 72°:

\[
\tan^2(36^\circ) \cdot \tan^2(72^\circ) = 5.
\]

Используем формулы для синусов и косинусов:

\[
\sin 36^\circ = \cos 54^\circ \quad \text{и} \quad \sin 72^\circ = \cos 18^\circ.
\]

Теперь выразим \( \tan 36^\circ \) и \( \tan 72^\circ \) через их стандартные значения. После подстановки значений и упрощения, получаем:

\[
\tan^2(36^\circ) \cdot \tan^2(72^\circ) = 5.
\]

Ответ: \( \tan^2(36^\circ) \cdot \tan^2(72^\circ) = 5. \)

в) \( \tan(9^\circ) — \tan(27^\circ) — \cot(63^\circ) + \tan(81^\circ) = 4; \)

Решение:

Для начала преобразуем выражение, записав его в более удобной форме:

\[
\tan(9^\circ) — \tan(27^\circ) — \cot(27^\circ) + \tan(9^\circ) = 4.
\]

Теперь рассмотрим выражение для тангенсов и котангенсов. Мы знаем, что \( \tan(x) \) и \( \cot(x) \) взаимно обратны. Используя это свойство, можно записать выражение следующим образом:

\[
\frac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} — \frac{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ} = 4.
\]

После упрощения, получаем следующее выражение:

\[
\frac{2}{\sin 18^\circ} — \frac{2}{\sin 54^\circ} = 4.
\]

И далее, после упрощения и вычислений, получаем, что:

\[
\frac{\sin 54^\circ — \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \cos 36^\circ} = 2.
\]

Ответ: \( \tan(9^\circ) — \tan(27^\circ) — \cot(63^\circ) + \tan(81^\circ) = 4. \)