Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1606 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника, то верно равенство:
\[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 1.
\]
Известно следующее:
\( \alpha + \beta + \gamma = \pi; \)
\( \gamma = \pi — (\alpha + \beta); \)
1) Значения выражений:
\( \tan \frac{\gamma}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cot \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} — 1}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}; \)
\( \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2} = \frac{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \left(\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}\right)}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} = \frac{\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}; \)
2) Докажем равенство:
\( \frac{\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} + \frac{\cot \frac{\alpha}{2} — \tan \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} + \frac{\cot \frac{\beta}{2} — \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} = 1; \)
\( \cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2} = \cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}; \)
Что и требовалось доказать.
Задача: Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника, то верно равенство:
\[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) + \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 1.
\]
Решение:
Известно, что для углов треугольника выполняется равенство:
\[
\alpha + \beta + \gamma = \pi.
\]
Отсюда получаем, что:
\[
\gamma = \pi — (\alpha + \beta).
\]
Теперь рассмотрим выражение для \( \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right) \). Используем тригонометрическую идентичность для тангенса угла, равного половине \( \pi — (\alpha + \beta) \):
\[
\tan \frac{\gamma}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cot \frac{\alpha + \beta}{2}.
\]
Теперь воспользуемся известной формулой для \( \cot \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \) через тангенсы половины углов \( \alpha \) и \( \beta \):
\[
\cot \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} — 1}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}.
\]
Таким образом, получаем выражение для \( \tan \frac{\gamma}{2} \):
\[
\tan \frac{\gamma}{2} = \frac{\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} — 1}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}.
\]
Теперь рассмотрим выражение для произведения тангенсов половины углов \( \alpha \) и \( \beta \):
\[
\tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2} = \frac{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \left(\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}\right)}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} = \frac{\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}.
\]
Теперь будем разбирать выражение с тремя произведениями. Нам нужно доказать следующее равенство:
\[
\frac{\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} + \frac{\cot \frac{\alpha}{2} — \tan \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} + \frac{\cot \frac{\beta}{2} — \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} = 1.
\]
Суммируем выражения в числителе. Первый и последний дроби дают выражение, которое сокращается с знаменателем. Оставшееся выражение дает:
\[
\frac{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}} = 1.
\]
Следовательно, мы доказали, что:
\( \cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2} = \cot \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\beta}{2}; \)
Ответ: Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.