ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1605 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника, причём \( \gamma \) — тупой угол, то произведение тангенсов углов \( \alpha \) и \( \beta \) меньше 1:

\[
\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) < 1, \quad \text{если} \quad \gamma \, \text{тупой}.
\]

Известно следующее:

\( \alpha + \beta + \gamma = \pi; \)

\( \gamma > \frac{\pi}{2}, \quad \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}; \)

Докажем неравенство:

\( \tan \alpha \cdot \tan \beta < 1; \)

\( \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} — 1 < 0; \)

\( \frac{\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} < 0; \)

\( \sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta < 0; \)

\( -\cos(\alpha + \beta) < 0; \)

\( -\cos(\pi — \gamma) < 0; \)

\( \cos \gamma < 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника, причём \( \gamma \) — тупой угол, то произведение тангенсов углов \( \alpha \) и \( \beta \) меньше 1:

\[
\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) < 1, \quad \text{если} \quad \gamma \, \text{тупой}.
\]

Решение:

Итак, из условий задачи мы знаем, что углы \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) — углы треугольника, и что \( \gamma \) — тупой угол. То есть, выполняется следующее условие:

\[
\alpha + \beta + \gamma = \pi, \quad \gamma > \frac{\pi}{2}, \quad \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}.
\]

Нам нужно доказать, что:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta < 1.
\]

Для этого используем тригонометрические преобразования. Запишем произведение тангенсов в виде:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}.
\]

Теперь перепишем неравенство, вычтя 1 с обеих сторон:

\[
\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} — 1 < 0.
\]

Преобразуем левую часть неравенства:

\[
\frac{\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} < 0.
\]

Рассмотрим числитель \( \sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta \). Это выражение можно преобразовать с помощью тригонометрической формулы для косинуса суммы углов:

\[
\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta = -\cos(\alpha + \beta).
\]

Таким образом, неравенство становится:

\[
-\cos(\alpha + \beta) < 0.
\]

Так как \( \alpha + \beta = \pi — \gamma \), подставим это в выражение:

\[
-\cos(\pi — \gamma) < 0.
\]

Зная, что \( \cos(\pi — \gamma) = -\cos(\gamma) \), получаем:

\[
\cos \gamma < 0.
\]

Это условие верно, так как угол \( \gamma \) — тупой, и для тупого угла косинус всегда отрицателен. Следовательно, неравенство выполняется.

Ответ: Мы доказали, что:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta < 1, \quad \text{если} \quad \gamma \, \text{тупой}.
\]