ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1604 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите \( \cos(2\alpha) \) через \( a \), если

\[
\tan^2(\alpha) — a \tan(\alpha) + 1 = 0, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}, \quad a > 2.
\]

Известно следующее:

\( 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}, \quad a \geq 2; \)

\( \tan^2 \alpha — a \tan \alpha + 1 = 0; \)

1) Пусть \( y = \tan \alpha \), тогда:

\( y^2 — ay + 1 = 0, \quad 0 < y < 1; \)

\( D = a^2 — 4 \cdot 1 = a^2 — 4, \text{ тогда:} \)

\( y = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2} = \frac{a — \sqrt{a^2 — 4}}{2}; \)

2) Значение косинуса:

\( \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{a^2 — 2a\sqrt{a^2 — 4} + a^2 — 4}{4}}}; \)

\( \cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{2a^2 — 2a\sqrt{a^2 — 4}}} = \sqrt{\frac{2}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})}}; \)

3) Косинус двойного угла:

\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha — 1; \)

\( \cos 2\alpha = \frac{4}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})} — 1 = \frac{4 — a^2 + a\sqrt{a^2 — 4}}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})}; \)

\( \cos 2\alpha = \frac{\sqrt{a^2 — 4}(a — \sqrt{a^2 — 4})}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})} = \frac{\sqrt{a^2 — 4}}{a}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{a^2 — 4}}{2}. \)

Задача: Выразите \( \cos(2\alpha) \) через \( a \), если

\[
\tan^2(\alpha) — a \tan(\alpha) + 1 = 0, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}, \quad a > 2.
\]

Решение:

Имеем уравнение для \( \tan(\alpha) \):

\[
\tan^2 \alpha — a \tan \alpha + 1 = 0.
\]

Пусть \( y = \tan \alpha \). Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно \( y \):

\[
y^2 — a y + 1 = 0.
\]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для этого находим дискриминант \( D \):

\[
D = a^2 — 4 \cdot 1 = a^2 — 4.
\]

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

\[
y = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — 4}}{2}.
\]

Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} \), то \( 0 < y < 1 \), следовательно, берем отрицательный корень:

\[
y = \frac{a — \sqrt{a^2 — 4}}{2}.
\]

Теперь, зная \( \tan \alpha \), найдем \( \cos \alpha \) с помощью формулы \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}} \). Подставляем значение \( \tan \alpha = y \):

\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + y^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{a — \sqrt{a^2 — 4}}{2} \right)^2}}.
\]

Упростим выражение для \( \cos \alpha \):

\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{2a^2 — 2a \sqrt{a^2 — 4}}}.
\]

Далее упростим еще больше:

\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})}}.
\]

Теперь, используя формулу для косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha — 1 \), подставим выражение для \( \cos \alpha \):

\[
\cos 2\alpha = 2 \left( \frac{2}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})} \right) — 1.
\]

Упростим это выражение:

\[
\cos 2\alpha = \frac{4}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})} — 1 = \frac{4 — a^2 + a \sqrt{a^2 — 4}}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})}.
\]

Далее упростим выражение для \( \cos 2\alpha \):

\[
\cos 2\alpha = \frac{\sqrt{a^2 — 4}(a — \sqrt{a^2 — 4})}{a(a — \sqrt{a^2 — 4})}.
\]

Итак, конечный результат для \( \cos 2\alpha \) равен:

\[
\cos 2\alpha = \frac{\sqrt{a^2 — 4}}{a}.
\]

Ответ:

\[
\frac{\sqrt{a^2 — 4}}{2}.
\]