ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1603 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 2, верно неравенство

\[
(n!)^{\frac{1}{n}} > \sqrt{n}.
\]

Доказать неравенство:

\( \sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}, \quad n > 2; \)

\( (\sqrt[n]{n!})^{2n} > (\sqrt{n})^{2n}, \quad (n!)^2 > n^n; \)

\( (n!)^2 = n \cdot (2(n — 1)) \cdot \ldots \cdot (2(n — 1)) \cdot n; \)

\( d = k(n — k + 1) — n = k(n — k) — (n — k); \)

\( d = (n — k)(k — 1) \geq 0, \quad k(n — (k — 1)) \geq n; \)

\( (n!)^2 > n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n > n^n; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 2, верно неравенство

\[
(n!)^{\frac{1}{n}} > \sqrt{n}.
\]

Решение:

Нам нужно доказать неравенство:

\[
\sqrt[n]{n!} > \sqrt{n}, \quad n > 2.
\]

Рассмотрим выражение \( \sqrt[n]{n!} \), которое можно представить как \( (n!)^{\frac{1}{n}} \). Необходимо доказать, что оно больше, чем \( \sqrt{n} \). Для этого возведем обе стороны неравенства в степень \( 2n \), чтобы избавиться от корней:

\[
\left( \sqrt[n]{n!} \right)^{2n} > \left( \sqrt{n} \right)^{2n}, \quad (n!)^2 > n^n.
\]

Теперь развернем выражение для \( (n!)^2 \) и рассмотрим его более подробно. Мы знаем, что факториал \( n! \) равен произведению всех целых чисел от 1 до \( n \), то есть:

\[
(n!)^2 = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \cdot n.
\]

Давайте исследуем, насколько это выражение больше \( n^n \). Для этого определим разницу \( d \) между каждым множителем в \( (n!)^2 \) и \( n^n \). Разница выражается как:

\[
d = k(n — k + 1) — n = k(n — k) — (n — k),
\]

где \( k \) — это множитель, который варьируется от 1 до \( n \). Мы видим, что эта разница всегда положительна, так как \( k(n — k) \geq n \). Следовательно, можно утверждать, что:

\[
(n!)^2 > n \cdot n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^n.
\]

Ответ:

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального \( n \), большего 2, верно неравенство:

\( (n!)^2 > n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n > n^n; \)