ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1602 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \( n \) верно неравенство

\[
\frac{1}{2} < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n} < 1.
\]

Доказать неравенство:

\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1;
\]

Средняя часть неравенства:

\[
x = \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}};
\]

\( x > \sqrt[n]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}; \)

\( x < \sqrt[n]{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} = 1; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при любом натуральном \( n \) верно неравенство

\[
\frac{1}{2} < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n} < 1.
\]

Решение:

Необходимо доказать следующее неравенство для любого натурального \( n \):

\[
\frac{1}{2} < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n} < 1.
\]

Обозначим выражение в середине неравенства как \( x \):

\[
x = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}.
\]

Пусть теперь рассмотрим \( \sqrt[n]{x} \), где \( x \) — это произведение чисел от 1 до \( 2n-1 \) в числителе и от 2 до \( 2n \) в знаменателе. Нам нужно доказать, что:

\[
\frac{1}{2} < \sqrt[n]{x} < 1.
\]

1) Доказательство нижней части неравенства:

Заметим, что в числителе \( x \) находятся нечетные числа, а в знаменателе — четные числа. Очевидно, что каждое слагаемое числителя меньше соответствующего слагаемого в знаменателе. Следовательно, для каждого множителя выполняется неравенство:

\[
\frac{1}{2} < \frac{2k — 1}{2k} < 1, \quad \text{где } k \in \mathbb{N}.
\]

Таким образом, для всего произведения в числителе и знаменателе, возведенного в степень \( \frac{1}{n} \), выполняется:

\[
\sqrt[n]{x} > \sqrt[n]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.
\]

2) Доказательство верхней части неравенства:

Для верхней части неравенства рассмотрим, что все множители числителя и знаменателя равны 1 для каждого члена. Таким образом,:

\[
\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} = 1.
\]

Ответ:

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального \( n \) выполняется неравенство:

\[
x = \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}};
\]