ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1601 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

\[
(2a^{\frac{1}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}} + 2c^{\frac{1}{4}}) — (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq 3.
\]

Доказать неравенство:

\( (2\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{b} + 2\sqrt[4]{c}) — (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \leq 3; \)

\( \sqrt{a} — 2\sqrt[4]{a} + 1 + \sqrt{b} — 2\sqrt[4]{b} + 1 + \sqrt{c} — 2\sqrt[4]{c} + 1 \geq 0; \)

\( (\sqrt[4]{a} — 1)^2 + (\sqrt[4]{b} — 1)^2 + (\sqrt[4]{c} — 1)^2 \geq 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите неравенство:

\[
(2a^{\frac{1}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}} + 2c^{\frac{1}{4}}) — (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq 3.
\]

Решение:

Необходимо доказать, что:

\[
(2\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{b} + 2\sqrt[4]{c}) — (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq 3.
\]

Для этого преобразуем выражение, преобразовав его в несколько простых неравенств.

Перепишем его следующим образом:

\[
2(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{c}) — (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq 3.
\]

Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{a} — 2\sqrt[4]{a} + 1 \) и аналогичные для \( b \) и \( c \). Все эти выражения должны быть неотрицательными, так как это квадраты, а квадраты неотрицательных чисел всегда неотрицательны. Это можно записать как:

\[
(\sqrt[4]{a} — 1)^2 + (\sqrt[4]{b} — 1)^2 + (\sqrt[4]{c} — 1)^2 \geq 0.
\]

Поскольку квадраты чисел всегда неотрицательны, то сумма таких квадратов тоже будет неотрицательной. Это доказывает, что неравенство выполняется:

\[
{3}.
\]

Ответ: Что и требовалось доказать.