ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1600 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство с параметром \( a \):

а) \( a \sqrt{x + 1} < 1 \);

б) \( (a + 1) \sqrt{2 — x} < 1 \).

Решить неравенство:

а) \( a\sqrt{x+1} < 1; \)

Если \( a \leq 0 \), тогда:

\( x + 1 \geq 0, \quad x \geq -1; \)

Если \( a > 0 \), тогда:

\( \sqrt{x+1} < \frac{1}{a}; \)

\( 0 \leq x + 1 < \frac{1}{a^2}; \)

\( -1 \leq x < \frac{1}{a^2} — 1; \)

Ответ: \([-1; +\infty)\) при \( a \leq 0 \);

\(\left[-1; \frac{1}{a^2} — 1\right)\) при \( a > 0 \).

б) \((a + 1)\sqrt{2 — x} < 1; \)

Если \( a \leq -1 \), тогда:

\( 2 — x \geq 0, \quad x \leq 2; \)

Если \( a > -1 \), тогда:

\( \sqrt{2 — x} < \frac{1}{a + 1}; \)

\( 0 \leq 2 — x < \frac{1}{(a + 1)^2}; \)

\( -2 \leq -x < \frac{1}{(a + 1)^2} — 2; \)

\( 2 — \frac{1}{(a + 1)^2} < x \leq 2; \)

Ответ: \((-∞; 2]\) при \( a \leq -1 \);

\(\left(2 — \frac{1}{(a + 1)^2}; 2\right]\) при \( a > -1 \).

Задача: Решите неравенство с параметром \( a \):

а) \( a \sqrt{x + 1} < 1; \)

Решение:

Необходимо решить неравенство с параметром \( a \):

\( a \sqrt{x + 1} < 1.
\)

Разберемся на два случая:

1) Если \( a \leq 0 \):

В этом случае \( a \sqrt{x + 1} \leq 0 \), так как \( \sqrt{x + 1} \geq 0 \) для всех \( x \geq -1 \). Поэтому неравенство \( a \sqrt{x + 1} < 1 \) всегда выполняется, если \( x \geq -1 \).

Ответ: \( x \in [-1; +\infty) \), при \( a \leq 0 \).

2) Если \( a > 0 \):

В этом случае, так как \( a > 0 \), можно разделить обе части неравенства на \( a \), получив:

\[
\sqrt{x + 1} < \frac{1}{a}.
\]

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе стороны положительные для \( a > 0 \):

\[
x + 1 < \frac{1}{a^2}.
\]

Преобразуем неравенство:

\[
x < \frac{1}{a^2} — 1.
\]

Таким образом, для \( a > 0 \) решение неравенства следующее:

Ответ: \( x \in \left[-1; \frac{1}{a^2} — 1 \right) \), при \( a > 0 \).

б) \( (a + 1) \sqrt{2 — x} < 1; \)

Решение:

Необходимо решить неравенство с параметром \( a \):

\[
(a + 1) \sqrt{2 — x} < 1.
\]

Разберемся на два случая:

1) Если \( a \leq -1 \):

В этом случае \( a + 1 \leq 0 \). Так как \( \sqrt{2 — x} \geq 0 \), то произведение \( (a + 1) \sqrt{2 — x} \leq 0 \), и неравенство \( (a + 1) \sqrt{2 — x} < 1 \) всегда верно для \( x \leq 2 \) (поскольку \( \sqrt{2 — x} \) существует при \( x \leq 2 \)).

Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \), при \( a \leq -1 \).

2) Если \( a > -1 \):

В этом случае \( a + 1 > 0 \), и мы можем разделить обе части неравенства на \( a + 1 \), получив:

\[
\sqrt{2 — x} < \frac{1}{a + 1}.
\]

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат, так как обе стороны положительные для \( a > -1 \):

\[
2 — x < \frac{1}{(a + 1)^2}.
\]

Преобразуем неравенство:

\[
x > 2 — \frac{1}{(a + 1)^2}.
\]

Также из условия существования квадратного корня имеем \( x \leq 2 \). Таким образом, для \( a > -1 \) решение неравенства будет:

Ответ: \( x \in \left( 2 — \frac{1}{(a + 1)^2}; 2 \right] \), при \( a > -1 \).