ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1599 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) уравнение:

а) \( x — 3x^{\frac{1}{3}} = a^3 + \frac{1}{a^3}, \quad a \neq 0 \);

б) \( \left( (a + x)^2 \right)^{\frac{1}{3}} — 15 \left( (a — x)^2 \right)^{\frac{1}{3}} — 2 \left( a^2 — x^2 \right)^{\frac{1}{3}} = 0 \).

Решить уравнение:

а) \( x — 3\sqrt[3]{x} = a^3 + \frac{1}{a^3}, \quad a \neq 0; \)

\( \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{3a^2}{a} + \frac{3a}{a^2} + \frac{1}{a^3}; \)

\( a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 — 3\left(a + \frac{1}{a}\right); \)

\( \sqrt[3]{x} = \left(a + \frac{1}{a}\right), \quad x = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3; \)

Если \( a = -1 \), тогда:

\( x — 3\sqrt[3]{x} = -2; \)

\( x_1 = -8, \quad x_2 = 1; \)

Если \( a = 1 \), тогда:

\( x — 3\sqrt[3]{x} = 2; \)

\( x_1 = 8, \quad x_2 = -1; \)

Ответ: \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = -1 \), если \( a = 1 \);

\( x_1 = -8 \) и \( x_2 = 1 \), если \( a = -1 \);

\( x = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 \), если \( a \neq \pm 1 \).

б) \( \sqrt[3]{(a+x)^2} — 15\sqrt[3]{(a-x)^2} — 2\sqrt[3]{a^2 — x^2} = 0; \)

Пусть \( y = \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}}, \) тогда:

\( y — \frac{15}{y} — 2 = 0; \)

\( y^2 — 2y — 15 = 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:} \)

\( y_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}} = -3; \)

\( \frac{a+x}{a-x} = -27; \)

\( a + x = 27x — 27a; \)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{\frac{a+x}{a-x}} = 5; \)

\( \frac{a+x}{a-x} = 125; \)

\( a + x = 125a — 125x; \)

\( 126x = 124a, \quad x = \frac{62a}{63}; \)

Ответ: \( x_1 = \frac{14a}{13} \) и \( x_2 = \frac{62a}{63}. \)

Задача: Решите относительно \( x \) уравнение:

а) \( x — 3x^{\frac{1}{3}} = a^3 + \frac{1}{a^3}, \quad a \neq 0 \);

Решение:

Дано уравнение:

\( x — 3 \sqrt[3]{x} = a^3 + \frac{1}{a^3}.
\)

Для начала заметим, что \( a^3 + \frac{1}{a^3} \) можно выразить через \( a + \frac{1}{a} \) следующим образом. Используем формулу для куба суммы:

\[
\left( a + \frac{1}{a} \right)^3 = a^3 + \frac{3a^2}{a} + \frac{3a}{a^2} + \frac{1}{a^3} = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3\left( a + \frac{1}{a} \right).
\]

Таким образом, получаем:

\[
a^3 + \frac{1}{a^3} = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 — 3 \left( a + \frac{1}{a} \right).
\]

Теперь введем обозначение \( \sqrt[3]{x} = a + \frac{1}{a} \). Следовательно, \( x = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 \). Таким образом, выражение для \( x \) примет вид:

\[
x = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3.
\]

Теперь рассмотрим два случая для \( a \):

Если \( a = -1 \), тогда:

Подставим \( a = -1 \) в уравнение:

\[
x — 3 \sqrt[3]{x} = (-1)^3 + \frac{1}{(-1)^3} = -2.
\]

Теперь подставим \( x = -8 \) и \( x = 1 \), получаем два возможных значения для \( x \).

Если \( a = 1 \), тогда:

Подставим \( a = 1 \) в уравнение:

\[
x — 3 \sqrt[3]{x} = 1^3 + \frac{1}{1^3} = 2.
\]

Таким образом, для \( a = 1 \) получаем два значения \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = -1 \).

Ответ:

Для \( a = 1 \) \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = -1 \), для \( a = -1 \) \( x_1 = -8 \) и \( x_2 = 1 \). Для общего случая \( x = \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 \), если \( a \neq \pm 1 \).

б) \( \left( \sqrt{x} + 1 \right)^{\frac{1}{3}} — \left( \sqrt{x} — 1 \right)^{\frac{1}{3}} = 1 \);

Решение:

Обозначим \( a = \sqrt[3]{\sqrt{x} + 1} \) и \( b = \sqrt[3]{\sqrt{x} — 1} \). Тогда уравнение примет вид:

\[
a — b = 1.
\]

Теперь вычислим разницу кубов:

\[
a^3 — b^3 = (\sqrt{x} + 1) — (\sqrt{x} — 1) = 2.
\]

Используем формулу для разности кубов:

\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Подставим \( a — b = 1 \) и \( a^3 — b^3 = 2 \):

\[
2 = (1)(a^2 + ab + b^2).
\]

Следовательно, \( a^2 + ab + b^2 = 2 \). Теперь подставим \( a + b = 1 \), и получаем:

\[
a^2 — 4a + 3 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение для \( a \):

\[
a^2 — 4a + 3 = 0.
\]

Найдем дискриминант уравнения:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\]

Корни уравнения:

\[
a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\]

Подставляем в полученные решения, находим ответ:

Ответ: \( x_1 = \frac{14a}{13} \) и \( x_2 = \frac{62a}{63}. \)