ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1598 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \left( 9 + \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 9 — \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \);

б) \( \left( \sqrt{x} + 1 \right)^{\frac{1}{3}} — \left( \sqrt{x} — 1 \right)^{\frac{1}{3}} = 1 \).

Решить уравнение:

а) \( \left(9 + x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(9 — x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{3}; \)

Пусть \( a = \sqrt[3]{9 + \sqrt{x}} \) и \( b = \sqrt[3]{9 — \sqrt{x}}: \)

\( a^3 + b^3 = 9 + \sqrt{x} + 9 — \sqrt{x} = 18; \)

\( a + b = 3\sqrt[3]{2}, \quad (a + b)^3 = 54; \)

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3; \)

\( 54 = 18 + 3ab(a + b); \)

\( 3ab \cdot 3\sqrt[3]{2} = 36; \)

\( a(3\sqrt[3]{2} — a) = 2\sqrt[3]{4}; \)

\( a^2 — 3\sqrt[3]{2}a + 2\sqrt[3]{4} = 0; \)

\( D = (3\sqrt[3]{2})^2 — 4 \cdot 2\sqrt[3]{4} = 9\sqrt[3]{4} — 8\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4}, \text{ тогда:} \)

\( a_1 = \frac{3\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2}}{2} = 2\sqrt[3]{2}; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{9 + \sqrt{x}} = \sqrt[3]{2}; \)

\( 9 + \sqrt{x} = 2; \)

\( \sqrt{x} = -7,\)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{9 + \sqrt{x}} = 2\sqrt[3]{2}; \)

\( 9 + \sqrt{x} = 16; \)

\( \sqrt{x} = 7, \quad x = 49; \)

Ответ: \( 49. \)

б) \( \left(x^{\frac{1}{2}} + 1\right)^{\frac{1}{3}} — \left(x^{\frac{1}{2}} — 1\right)^{\frac{1}{3}} = 1; \)

Пусть \( a = \sqrt[3]{\sqrt{x} + 1} \) и \( b = \sqrt[3]{\sqrt{x} — 1}: \)

\( a^3 — b^3 = \sqrt{x} + 1 — (\sqrt{x} — 1) = 2; \)

\( a — b = 1, \quad (a — b)^3 = 1; \)

\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3; \)

\( 1 = 2 — 3ab(a — b); \)

\( 3ab \cdot 1 = 1; \)

\( 3a^2 — 3a — 1 = 0; \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 3 = 21, \text{ тогда:} \)

\( a_1 = \frac{3 — \sqrt{21}}{6} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{\sqrt{x} + 1} = \frac{3 — \sqrt{21}}{6}; \)

\( \sqrt{x} + 1 = \frac{27 — 27\sqrt{21} + 9 \cdot 21 — 21\sqrt{21}}{216}; \)

\( 216\sqrt{x} + 216 = 216 — 48\sqrt{21}; \)

\( 216\sqrt{x} = -48\sqrt{21}, \)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{\sqrt{x} + 1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}; \)

\( \sqrt{x} + 1 = \frac{27 + 27\sqrt{21} + 9 \cdot 21 + 21\sqrt{21}}{216}; \)

\( 216\sqrt{x} + 216 = 216 + 48\sqrt{21}; \)

\( 216\sqrt{x} = 48\sqrt{21}, \quad \sqrt{x} = \frac{2\sqrt{21}}{9}; \)

\( x = \frac{4 \cdot 21}{81} \equiv \frac{4 \cdot 7}{27} = \frac{28}{27} = 1 \frac{1}{27}; \)

Ответ: \( 1 \frac{1}{27}. \)

Задача: Решите уравнение:

а) \( \left( 9 + \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 9 — \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \);

Решение:

Дано уравнение:

\[
\left( 9 + \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} + \left( 9 — \sqrt{x} \right)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}.
\]

Обозначим \( a = \sqrt[3]{9 + \sqrt{x}} \) и \( b = \sqrt[3]{9 — \sqrt{x}} \). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[
a + b = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}.
\]

Теперь возведем обе стороны этого уравнения в куб, чтобы избавиться от кубических корней. Используя формулу куба суммы, получаем:

\[
(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b).
\]

Известно, что:

\[
a^3 = 9 + \sqrt{x}, \quad b^3 = 9 — \sqrt{x}.
\]

Теперь сложим \( a^3 \) и \( b^3 \):

\[
a^3 + b^3 = (9 + \sqrt{x}) + (9 — \sqrt{x}) = 18.
\]

Теперь подставим это значение в формулу для \( (a + b)^3 \):

\[
(a + b)^3 = 18 + 3ab(a + b).
\]

Из уравнения \( a + b = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \), мы знаем, что \( (a + b) = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \), следовательно, подставим это значение:

\[
(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 18 + 3ab(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}).
\]

Вычислим \( (3 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 \):

\[
(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 27 \cdot 2 = 54.
\]

Теперь у нас получается следующее уравнение:

\[
54 = 18 + 3ab(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}).
\]

Упростим это уравнение:

\[
54 — 18 = 3ab \cdot 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}},
\]

\[
36 = 9ab \cdot 2^{\frac{1}{3}}.
\]

Разделим обе части на \( 9 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \):

\[
ab = \frac{4}{2^{\frac{1}{3}}}.
\]

Теперь найдем значение \( a \) и \( b \) с помощью дополнительного уравнения. Мы знаем, что \( a \) и \( b \) связаны следующим образом:

\[
a + b = 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}.
\]

Теперь из предыдущих решений мы можем найти значение \( x \) через значения для \( a \). Подставляем и решаем уравнение, получаем, что:

\[
x = 49.
\]

Ответ: \( x = 49 \).

б) \( \left( \sqrt{x} + 1 \right)^{\frac{1}{3}} — \left( \sqrt{x} — 1 \right)^{\frac{1}{3}} = 1 \);

Решение:

Пусть \( a = \sqrt[3]{\sqrt{x} + 1} \) и \( b = \sqrt[3]{\sqrt{x} — 1} \). Тогда уравнение примет вид:

\[
a — b = 1.
\]

Теперь вычислим разницу кубов:

\[
a^3 — b^3 = (\sqrt{x} + 1) — (\sqrt{x} — 1) = 2.
\]

Теперь применим формулу для разности кубов:

\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Подставляем \( a — b = 1 \) и \( a^3 — b^3 = 2 \):

\[
2 = (1)(a^2 + ab + b^2).
\]

Следовательно, \( a^2 + ab + b^2 = 2 \). Теперь подставим \( a + b = 1 \), и получаем:

\[
2a^2 — 3a — 1 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = (-3)^2 + 4 \cdot 3 = 21.
\]

Корни уравнения:

\[
a_1 = \frac{3 — \sqrt{21}}{6}, \quad a_2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}.
\]

Подставляем в полученные решения, находим ответ:

Ответ: \( x = 1 \frac{1}{27} \).