ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1597 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \left( 629 — x \right)^{\frac{1}{4}} + \left( 77 + x \right)^{\frac{1}{4}} = 8 \);

б) \( \frac{(29 — x)(x — 1)^{\frac{1}{3}} — (x — 1)(29 — x)^{\frac{1}{3}}}{(29 — x)^{\frac{1}{3}} — (x — 1)^{\frac{1}{3}}} = 12 \);

в) \( \left( (65 + x)^2 \right)^{\frac{1}{3}} + 4 \left( (65 — x)^2 \right)^{\frac{1}{3}} — 5 \left( 4225 — x^2 \right)^{\frac{1}{3}} = 0 \).

Решить уравнение:

а) \( \sqrt[4]{629 — x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8; \)

Пусть \( a = \sqrt[4]{629 — x} \) и \( b = \sqrt[4]{77 + x}: \)

\( a^4 + b^4 = 629 — x + 77 + x = 706; \)

\( a + b = 8, \quad b = 8 — a, \quad a^4 + (8 — a)^4 = 706; \)

\( a^4 + a^4 — 32a^3 + 384a^2 — 2048a + 4096 = 706; \)

\( 2a^4 — 32a^3 + 384a^2 — 2048a + 3390 = 0; \)

\( (a — 3)(a — 5)(a^2 — 8a + 113) = 0; \)

\( (a — 3)(a — 5) = 0, \quad a_1 = 3, \quad a_2 = 5; \)

Первое значение:

\( \sqrt[4]{629 — x} = 3; \)

\( 629 — x = 81; \)

\( x = 548; \)

Второе значение:

\( \sqrt[4]{629 — x} = 5; \)

\( 629 — x = 625; \)

\( x = 4; \)

Ответ: \( 4; \, 548. \)

б) \( \frac{(29 — x)\sqrt[3]{x — 1} — (x — 1)\sqrt[3]{29 — x}}{\sqrt[3]{29 — x} — \sqrt[3]{x — 1}} = 12; \)

Пусть \( a = \sqrt[3]{29 — x} \) и \( b = \sqrt[3]{x — 1}, \) тогда:

\( a^3 + b^3 = (29 — x) + (x — 1) = 28; \)

\( \frac{a^3b — b^3a}{a — b} = \frac{ab(a^2 — b^2)}{a — b} = ab(a + b) = 12; \)

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 28 + 3ab(a + b) = 28 + 36 = 64; \)

\( a + b = 4, \quad b = 4 — a; \)

\( ab \cdot 4 = 12, \quad ab = 3; \)

\( a(4 — a) = 3; \)

\( a^2 — 4a + 3 = 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:} \)

\( a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{29 — x} = 1; \)

\( 29 — x = 1; \)

\( x = 28; \)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{29 — x} = 3; \)

\( 29 — x = 27; \)

\( x = 2; \)

Ответ: \( 2; \, 28. \)

в) \( \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 — x)^2} — 5\sqrt[3]{4225 — x^2} = 0; \)

\( \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4 — 5\sqrt[3]{65 — x} = 0; \)

Пусть \( y = \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}}, \) тогда:

\( y^2 — 5y + 4 = 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:} \)

\( y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4; \)

Первое значение:

\( \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 1; \)

\( \frac{65 + x}{65 — x} = 1; \)

\( 2x = 0, \quad x = 0; \)

Второе значение:

\( \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 4; \)

\( \frac{65 + x}{65 — x} = 64; \)

\( 65x = 4095, \quad x = 63; \)

Ответ: \( 0; \, 63. \)

Задача: Решите уравнение:

а) \( \left( 629 — x \right)^{\frac{1}{4}} + \left( 77 + x \right)^{\frac{1}{4}} = 8 \);

Решение:

Пусть \( a = \sqrt[4]{629 — x} \) и \( b = \sqrt[4]{77 + x} \). Тогда из уравнения имеем:

\( a + b = 8.
\)

Теперь выразим \( a^4 \) и \( b^4 \):

\( a^4 = 629 — x, \quad b^4 = 77 + x.
\)

Сложив эти два уравнения, получаем:

\( a^4 + b^4 = 629 — x + 77 + x = 706.
\)

Теперь выразим \( b \) через \( a \):

\( b = 8 — a.
\)

Подставим \( b = 8 — a \) в уравнение для \( a^4 + b^4 \):

\( a^4 + (8 — a)^4 = 706.
\)

Раскроем выражение \( (8 — a)^4 \):

\( (8 — a)^4 = 8^4 — 4 \cdot 8^3 \cdot a + 6 \cdot 8^2 \cdot a^2 — 4 \cdot 8 \cdot a^3 + a^4.
\)

Подставим это в уравнение и упростим:

\( a^4 + 8^4 — 4 \cdot 8^3 \cdot a + 6 \cdot 8^2 \cdot a^2 — 4 \cdot 8 \cdot a^3 = 706.
\)

После упрощения получаем многочлен, который решаем по стандартным методам. В итоге, мы получаем:

\( (a — 3)(a — 5)(a^2 — 8a + 113) = 0.
\)

Таким образом, \( a = 3 \) или \( a = 5 \). Теперь найдем соответствующие значения \( x \):

Первое значение: \( a = 3 \), тогда \( \sqrt[4]{629 — x} = 3 \), и \( 629 — x = 81 \), следовательно, \( x = 548 \).

Второе значение: \( a = 5 \), тогда \( \sqrt[4]{629 — x} = 5 \), и \( 629 — x = 625 \), следовательно, \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \) или \( x = 548 \).

б) \( \frac{(29 — x)(x — 1)^{\frac{1}{3}} — (x — 1)(29 — x)^{\frac{1}{3}}}{(29 — x)^{\frac{1}{3}} — (x — 1)^{\frac{1}{3}}} = 12 \);

Решение:

Обозначим \( a = \sqrt[3]{29 — x} \) и \( b = \sqrt[3]{x — 1} \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[
\frac{a^3b — b^3a}{a — b} = ab(a + b) = 12.
\]

Также, \( a^3 + b^3 = (29 — x) + (x — 1) = 28 \). Получаем:

\[
a^3 + b^3 = 28 \quad \text{и} \quad ab(a + b) = 12.
\]

Теперь вычислим \( (a + b)^3 \):

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 28 + 3ab(a + b) = 28 + 36 = 64.
\]

Таким образом, \( a + b = 4 \). Теперь выразим \( ab \):

\[
ab \cdot 4 = 12, \quad ab = 3.
\]

Теперь решим квадратное уравнение для \( a \):

\[
a(4 — a) = 3, \quad a^2 — 4a + 3 = 0.
\]

Найдем дискриминант уравнения:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\]

Корни уравнения:

\[
a_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\]

Первое значение: \( \sqrt[3]{29 — x} = 1 \), следовательно, \( 29 — x = 1 \), и \( x = 28 \).

Второе значение: \( \sqrt[3]{29 — x} = 3 \), следовательно, \( 29 — x = 27 \), и \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \) или \( x = 28 \).

в) \( \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 — x)^2} — 5\sqrt[3]{4225 — x^2} = 0 \);

Решение:

Обозначим \( y = \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} \). Тогда уравнение принимает вид:

\[
y^2 — 5y + 4 = 0.
\]

Решаем это квадратное уравнение:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\]

Первое значение: \( \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 1 \), следовательно, \( \frac{65 + x}{65 — x} = 1 \), и \( 2x = 0 \), \( x = 0 \).

Второе значение: \( \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 4 \), следовательно, \( \frac{65 + x}{65 — x} = 64 \), и \( 65x = 4095 \), \( x = 63 \).

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = 63 \).