ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1595 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 1, верно неравенство

\[
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{n+n} > \frac{13}{24}.
\]

Доказать неравенство:

\( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{n+n} > \frac{13}{24}; \)

1) Если \( n = 2 \), тогда:

\( \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2+2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}; \)

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

\( \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \frac{1}{k+4} + \cdots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} — \frac{13}{24} > \)

\( > \frac{13}{24} — \frac{1}{k+1} + \frac{2k+2+2k+1}{(2k+1)(2k+2)} — \frac{13}{24} = \frac{4k+3}{4k^2+6k+2} — \frac{1}{k+1} = \)

\( = \frac{(4k+3)(k+1)-(4k^2+6k+2)}{(4k^2+6k+2)(k+1)} = \frac{4k^2+7k+3-4k^2-6k-2}{2(2k^2+3k+1)(k+1)} = \)

\( = \frac{k+1}{2(2k^2+3k+1)(k+1)} = \frac{1}{2(2k^2+3k+1)} > 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при любом натуральном \( n \), большем 1, верно неравенство

\[
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{n+n} > \frac{13}{24}.
\]

Решение:

Нам необходимо доказать, что для всех натуральных чисел \( n > 1 \) выполняется следующее неравенство:

\[
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}.
\]

1) Проверим случай \( n = 2 \):

В этом случае неравенство выглядит так:

\[
\frac{1}{2+1} + \frac{1}{2+2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.
\]

Теперь сравним с правой частью неравенства:

\[
\frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}.
\]

Таким образом, для \( n = 2 \) неравенство выполняется, так как \( \frac{14}{24} > \frac{13}{24} \).

2) Проверим для \( n = k + 1 \):

Теперь предположим, что для некоторого натурального числа \( k \) выполняется неравенство:

\[
\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \dots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}.
\]

Нужно доказать, что для \( n = k + 1 \) также выполняется это неравенство. Распишем сумму для \( n = k + 1 \):

\[
\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} — \frac{13}{24}.
\]

Чтобы показать, что эта разность больше нуля, представим выражение в более удобной форме:

\[
> \frac{13}{24} — \frac{1}{k+1} + \frac{2k+2+2k+1}{(2k+1)(2k+2)} — \frac{13}{24} = \frac{4k+3}{4k^2+6k+2} — \frac{1}{k+1}.
\]

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:

\[
= \frac{(4k+3)(k+1)-(4k^2+6k+2)}{(4k^2+6k+2)(k+1)} = \frac{4k^2+7k+3-4k^2-6k-2}{2(2k^2+3k+1)(k+1)}.
\]

Упростим числитель:

\[
= \frac{k+1}{2(2k^2+3k+1)(k+1)} = \frac{1}{2(2k^2+3k+1)} > 0.
\]

Таким образом, разность больше нуля, что доказывает, что неравенство выполняется для \( n = k + 1 \).

3) Проверим для \( k = 3 \):

Подставим \( k = 3 \) в неравенство и вычислим его:

\[
\frac{1}{3+2} + \frac{1}{3+3} + \frac{1}{3+4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}.
\]

Приведем к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{42}{210} + \frac{35}{210} + \frac{30}{210} = \frac{107}{210}.
\]

Теперь проверим, что:

\[
\frac{107}{210} > \frac{13}{24}.
\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{107}{210} = \frac{107 \cdot 24}{210 \cdot 24} = \frac{2568}{5040}, \quad \frac{13}{24} = \frac{13 \cdot 210}{24 \cdot 210} = \frac{2730}{5040}.
\]

Таким образом, \( \frac{2568}{5040} > \frac{2730}{5040} \), что также верно.

Ответ:

Неравенство \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24} \) выполняется для всех \( n \in \mathbb{N} \), где \( n > 1 \).