ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1594 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( n \in \mathbb{N} \) и \( n > 2 \), то верно неравенство

\[
2^{\frac{n(n-1)}{2}} > n!.
\]

Доказать неравенство:

\( 2^{\frac{n(n-1)}{2}} > n!, \quad n \in \mathbb{N}, \quad n > 2; \)

1) Если \( n = 3 \), тогда:

\( 2^{\frac{3(3-1)}{2}} = 2^{\frac{3 \cdot 2}{2}} = 8; \)

\( n! = 3! = 3 \cdot 2 = 6; \)

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

\( d = 2^{\frac{(k+1)k}{2}} — (k + 1)! = 2^{1+2+3+\cdots+k} — (k + 1)!; \)

\( d = 2^{\frac{k(k-1)}{2} + k} — (k + 1)! = 2^{\frac{k(k-1)}{2}} \cdot 2^k — (k + 1)k!; \)

\( 2^{\frac{k(k-1)}{2}} > k! > 0, \quad 2^k > k + 1 > 0, \quad d > 0; \)

3) Если \( k = 3 \), тогда:

\( 2^k = 2^3 = 8, \quad k + 1 = 4; \)

4) Если \( k = t + 1 \), тогда:

\( 2^{t+1} — (t + 2) = 2 \cdot 2^t — (t + 1) — 1 = \)

\( = (2^t — 1) + (2^t — (t + 1)) > 0 + 0 > 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что если \( n \in \mathbb{N} \) и \( n > 2 \), то верно неравенство

\( 2^{\frac{n(n-1)}{2}} > n!.
\)

Решение:

Нужно доказать, что для всех \( n \in \mathbb{N} \), где \( n > 2 \), неравенство \( 2^{\frac{n(n-1)}{2}} > n! \) выполняется.

1) Если \( n = 3 \), тогда:

Вычислим обе стороны неравенства при \( n = 3 \):

\( 2^{\frac{3(3-1)}{2}} = 2^{\frac{3 \cdot 2}{2}} = 2^3 = 8.
\)

Теперь вычислим \( n! \):

\( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.
\)

Таким образом, для \( n = 3 \) получаем:

\( 8 > 6,
\)

что верно.

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Предположим, что для некоторого \( k \in \mathbb{N} \), где \( k > 2 \), неравенство \( 2^{\frac{k(k-1)}{2}} > k! \) выполняется. Рассмотрим следующее для \( n = k + 1 \):

Нам нужно доказать, что:

\( 2^{\frac{(k+1)k}{2}} > (k+1)!.
\)

Рассмотрим разницу:

\( d = 2^{\frac{(k+1)k}{2}} — (k+1)! = 2^{1 + 2 + 3 + \cdots + k} — (k + 1)!.
\)

Используя формулу суммы арифметической прогрессии, упрощаем:

\( d = 2^{\frac{k(k-1)}{2} + k} — (k+1)! = 2^{\frac{k(k-1)}{2}} \cdot 2^k — (k + 1) \cdot k!.
\)

Теперь покажем, что \( d > 0 \). Для этого нужно доказать два неравенства:

1) \( 2^{\frac{k(k-1)}{2}} > k! \), что по предположению истинно для всех \( k \geq 3 \);

2) \( 2^k > k + 1 \), что также верно для всех \( k \geq 3 \).

Таким образом, \( d > 0 \), что означает, что:

\( 2^{\frac{(k+1)k}{2}} > (k+1)!.
\)

3) Если \( k = 3 \), тогда:

Подставим \( k = 3 \) в неравенство:

\( 2^3 = 8, \quad k + 1 = 4.
\)

Таким образом, для \( k = 3 \) получаем:

\( 8 > 4,
\)

что верно.

4) Если \( k = t + 1 \), тогда:

Предположим, что для некоторого \( t \) выполняется неравенство:

\( 2^{t+1} — (t + 2) = 2 \cdot 2^t — (t + 2).
\)

Мы можем записать это как:

\( 2^{t+1} — (t + 2) = (2^t — 1) + (2^t — (t + 2)).
\)

Теперь покажем, что каждая из этих частей больше нуля:

1) \( 2^t — 1 > 0 \) при \( t \geq 1 \);

2) \( 2^t — (t + 2) > 0 \) при \( t \geq 3 \).

Следовательно, \( d > 0 \), и мы завершили доказательство.

Ответ:

Неравенство \( 2^{\frac{n(n-1)}{2}} > n! \) выполняется для всех \( n \in \mathbb{N} \), где \( n > 2 \).