ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1593 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательность натуральных чисел разбита на группы: \( (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), \dots \). Найдите сумму чисел \( n \)-й группы.

В арифметической прогрессии:

\((1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), \ldots; \)

1) Первый член \( n \)-й группы:

\( k = \frac{1 + (n — 1)}{2} \cdot (n — 1) + 1; \)

\( k = \frac{n(n — 1) + 2}{2} = \frac{n^2 — n + 2}{2}; \)

2) Последний член группы:

\( t = k + (n — 1) = \frac{n^2 + n}{2}; \)

3) Сумма членов группы:

\( S_n = \frac{k + t}{2} \cdot n = \frac{n(n^2 + 1)}{2}; \)

Ответ: \( \frac{n(n^2 + 1)}{2}. \)

Задача: Последовательность натуральных чисел разбита на группы: \( (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), \dots \). Найдите сумму чисел \( n \)-й группы.

Решение:

Последовательность натуральных чисел разбита на группы таким образом, что \( n \)-я группа содержит \( n \) чисел, начиная с числа \( k_n \) и заканчивая числом \( t_n \). Необходимо найти сумму чисел \( n \)-й группы.

1) Первый член \( n \)-й группы:

Первый член \( n \)-й группы — это первое число, которое входит в \( n \)-ю группу. Для этого заметим, что количество чисел в предыдущих группах можно выразить как сумму всех чисел от 1 до \( n-1 \). Это сумма арифметической прогрессии:

\( 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}.
\)

Таким образом, первый член \( n \)-й группы — это \( \frac{(n-1)n}{2} + 1 \). Упростим выражение:

\( k = \frac{n(n — 1) + 2}{2} = \frac{n^2 — n + 2}{2}.
\)

2) Последний член группы:

Последний член \( n \)-й группы — это число, которое находится на позиции \( n \) в группе. То есть, это число \( k \), увеличенное на \( n-1 \), так как группа состоит из \( n \) чисел. Получаем:

\( t = k + (n — 1) = \frac{n^2 + n}{2}.
\)

3) Сумма чисел в \( n \)-й группе:

Сумма чисел в арифметической прогрессии, где первый член \( k \), последний член \( t \) и количество членов \( n \), рассчитывается по формуле:

\( S_n = \frac{k + t}{2} \cdot n.
\)

Подставим выражения для \( k \) и \( t \):

\( S_n = \frac{\frac{n^2 — n + 2}{2} + \frac{n^2 + n}{2}}{2} \cdot n = \frac{n(n^2 + 1)}{2}.
\)

Ответ:

Сумма чисел \( n \)-й группы равна:

\( \frac{n(n^2 + 1)}{2}.
\)