ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1592 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В бесконечной геометрической прогрессии выделяют по порядку от её начала группы по n членов. Докажите, что суммы членов этих групп образуют геометрическую прогрессию.

В геометрической прогрессии:

\( b_k = b_1 q^{k-1}, n — \text{число членов в группе}; \)

1) Сумма членов \( t \)-й группы:

\( S_t = \frac{b_{n(t-1)+1}(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{b_1 q^{nt-n}(q^n — 1)}{q — 1}; \)

\( S_{t+1} = \frac{b_1 q^{n(t+1)-n}(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{b_1 q^{nt}(q^n — 1)}{q — 1}; \)

2) Отношение соседних сумм:

\( \frac{S_{t+1}}{S_t} = \frac{q^{nt}}{q^{nt-n}} = q^{nt-nt} = q^n; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: В бесконечной геометрической прогрессии выделяют по порядку от её начала группы по \( n \) членов. Докажите, что суммы членов этих групп образуют геометрическую прогрессию.

Решение:

Пусть дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 \) и общим множителем \( q \). Каждый \( k \)-й член прогрессии можно выразить как:

\( b_k = b_1 q^{k-1},
\)

где \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — общий множитель.

Теперь выделим группы по \( n \) членов в этой прогрессии. Первая группа состоит из первых \( n \) членов, вторая группа — из следующих \( n \) членов, третья группа — из следующих и так далее. Мы будем искать сумму членов \( t \)-й группы.

1) Сумма членов \( t \)-й группы:

Первая группа состоит из членов с номерами от 1 до \( n \), вторая группа — с номерами от \( n+1 \) до \( 2n \), третья группа — с номерами от \( 2n+1 \) до \( 3n \), и так далее. Таким образом, сумма \( t \)-й группы состоит из \( n \) членов, начиная с \( b_{n(t-1)+1} \), где \( t \) — номер группы. То есть первый член \( t \)-й группы — это \( b_{n(t-1)+1} \), и общим множителем для этой группы будет \( q \). Таким образом, сумма \( t \)-й группы, \( S_t \), будет суммой \( n \) членов геометрической прогрессии, начиная с \( b_{n(t-1)+1} \), и разностью \( q \). Сумма членов \( t \)-й группы вычисляется по формуле для суммы геометрической прогрессии:

\( S_t = \frac{b_{n(t-1)+1}(q^n — 1)}{q — 1}.
\)

Теперь подставим значение первого члена группы. Первый член \( t \)-й группы \( b_{n(t-1)+1} \) равен \( b_1 q^{n(t-1)} \), так как это первый член геометрической прогрессии, начинающейся с \( b_{n(t-1)+1} \). Подставляем это в выражение для суммы:

\( S_t = \frac{b_1 q^{n(t-1)}(q^n — 1)}{q — 1}.
\)

2) Сумма следующей группы \( S_{t+1} \):

Для суммы \( (t+1) \)-й группы первые \( n \) членов начинаются с \( b_{n(t+1)-n+1} = b_1 q^{n(t+1)-n} = b_1 q^{nt} \). Следовательно, сумма \( (t+1) \)-й группы \( S_{t+1} \) будет равна:

\( S_{t+1} = \frac{b_1 q^{nt}(q^n — 1)}{q — 1}.
\)

3) Отношение соседних сумм:

Теперь вычислим отношение суммы \( (t+1) \)-й группы к сумме \( t \)-й группы. Это отношение равно:

\( \frac{S_{t+1}}{S_t} = \frac{\frac{b_1 q^{nt}(q^n — 1)}{q — 1}}{\frac{b_1 q^{n(t-1)}(q^n — 1)}{q — 1}} = \frac{q^{nt}}{q^{n(t-1)}}.
\)

Упростим выражение:

\( \frac{S_{t+1}}{S_t} = \frac{q^{nt}}{q^{n(t-1)}} = q^{nt — n(t-1)} = q^n.
\)

Таким образом, отношение соседних сумм равно \( q^n \), что означает, что суммы членов этих групп образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( S_1 \) и знаменателем \( q^n \), что и требовалось доказать.