ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1591 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Последовательности \( (x_n) \) и \( (y_n) \) заданы формулами \( x_n = 2n — 1 \), \( y_n = n^2 \). Если выписать в порядке возрастания все общие члены этих последовательностей, то получится последовательность \( (z_n) \). Запишите формулу \( n \)-го члена последовательности \( (z_n) \).

Даны последовательности:

\( x_n = 2n — 1, \quad y_n = n^2; \)

Уравнение общих членов:

\( (2n — 1) \not\mid 2, \quad n^2 \not\mid 2; \)

\( n^2 = (2k — 1)^2, \quad k \in \mathbb{N}; \)

Ответ: \( z_n = (2n — 1)^2. \)

Задача: Последовательности \( (x_n) \) и \( (y_n) \) заданы формулами \( x_n = 2n — 1 \), \( y_n = n^2 \). Если выписать в порядке возрастания все общие члены этих последовательностей, то получится последовательность \( (z_n) \). Запишите формулу \( n \)-го члена последовательности \( (z_n) \).

Решение:

Даны последовательности:

\( x_n = 2n — 1, \quad y_n = n^2.
\)

Мы ищем все общие члены этих последовательностей. Для этого нужно найти такие значения \( n \), для которых \( x_n \) и \( y_n \) совпадают. То есть нам нужно решить уравнение:

\( 2n — 1 = n^2.
\)

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\( n^2 — 2n + 1 = 0.
\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить через формулу для корней квадратного уравнения. В данном случае у нас есть полный квадрат:

\( (n — 1)^2 = 0.
\)

Отсюда получаем, что:

\( n = 1.
\)

Это означает, что первый общий член обеих последовательностей — это \( x_1 = y_1 = 1 \). Теперь, чтобы найти все общие члены последовательностей, нужно продолжить искать такие \( n \), при которых значения \( x_n \) и \( y_n \) совпадают.

Каждый общий член последовательностей будет иметь вид \( x_n = y_n = (2k — 1)^2 \), где \( k \in \mathbb{N} \). Таким образом, \( n \)-й общий член последовательности \( (z_n) \) можно выразить через \( (2n — 1)^2 \).

Ответ:

Формула для \( n \)-го члена последовательности \( (z_n) \) имеет вид:

\( z_n = (2n — 1)^2.
\)