ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1590 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите необходимое и достаточное условие того, что квадраты трёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен a и разность равна d, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

В арифметической прогрессии:

\( a_1 = a, \quad a_2 = a + d, \quad a_3 = a + 2d; \)

1) В геометрической прогрессии:

\( b_1 = a^2, \quad b_2 = (a + d)^2, \quad b_3 = (a + 2d)^2; \)

\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3, \quad ((a + d)^2)^2 = a^2 \cdot (a + 2d)^2; \)

\( (a + d)^2 = \pm a(a + 2d); \)

2) Первое значение:

\( a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 2ad; \)

\( a^2 — a^2 + 2ad — 2ad + d^2 = 0; \)

\( d^2 = 0, \quad d = 0; \)

3) Второе значение:

\( a^2 + 2ad + d^2 = -a^2 — 2ad; \)

\( d^2 + 4ad + 2a^2 = 0; \)

\( D = (4a)^2 — 4 \cdot 2a^2 = 16a^2 — 8a^2 = 8a^2, \text{ тогда:} \)

\( d = \frac{-4a \pm \sqrt{8a^2}}{2} = \frac{-4a \pm 2\sqrt{2}a}{2} = a(-2 \pm \sqrt{2}); \)

Ответ: \( d = 0 \) или \( d = a(-2 \pm \sqrt{2}). \)

Задача: Найдите необходимое и достаточное условие того, что квадраты трёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен \( a \) и разность равна \( d \), являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение:

Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом \( a \) и разностью \( d \). Члены этой прогрессии:

\( a_1 = a, \quad a_2 = a + d, \quad a_3 = a + 2d.
\)

Теперь рассмотрим квадраты этих членов, которые должны образовывать геометрическую прогрессию. Пусть квадраты этих членов будут обозначены как:

\( b_1 = a^2, \quad b_2 = (a + d)^2, \quad b_3 = (a + 2d)^2.
\)

Для того чтобы последовательность \( b_1, b_2, b_3 \) была геометрической прогрессией, должно выполняться следующее условие геометрической прогрессии:

\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3.
\)

Подставляем выражения для \( b_1 \), \( b_2 \) и \( b_3 \):

\( ((a + d)^2)^2 = a^2 \cdot (a + 2d)^2.
\)

Упростим обе стороны уравнения:

\( (a + d)^2 = \pm a(a + 2d).
\)

2) Первое значение:

Раскроем левую и правую часть уравнения:

\( (a + d)^2 = a^2 + 2ad + d^2, \quad a(a + 2d) = a^2 + 2ad.
\)

Приравняем эти выражения:

\( a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 2ad.
\)

Упростим выражение:

\( a^2 — a^2 + 2ad — 2ad + d^2 = 0.
\)

Получаем:

\( d^2 = 0, \quad d = 0.
\)

3) Второе значение:

Теперь рассмотрим второе значение для геометрической прогрессии:

\( a^2 + 2ad + d^2 = -a^2 — 2ad.
\)

Приведем подобные члены:

\( d^2 + 4ad + 2a^2 = 0.
\)

Решим это квадратное уравнение относительно \( d \). Для этого используем дискриминант:

\( D = (4a)^2 — 4 \cdot 2a^2 = 16a^2 — 8a^2 = 8a^2, \text{ тогда:}
\)

Корень из дискриминанта:

\( d = \frac{-4a \pm \sqrt{8a^2}}{2} = \frac{-4a \pm 2\sqrt{2}a}{2} = a(-2 \pm \sqrt{2}).
\)

Ответ:

Таким образом, необходимые и достаточные условия следующие: \( d = 0 \) или \( d = a(-2 \pm \sqrt{2}) \).