ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1589 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых \( n \) членов последовательности \( 2, 22, 222, \dots, \underbrace{22\cdots2}_{n \text{ раз}}, \dots \).

Дана последовательность:

\( 2, \, 22, \, 222, \, \ldots, \, \underbrace{22 \ldots 2}_{n \text{ раз}}, \, \ldots; \)

Сумма первых \( n \) членов:

\( S_n = 2 + 22 + 222 + \cdots + \underbrace{22 \ldots 2}_{n \text{ раз}}; \)

\( 10S_n = 20 + 220 + 2220 + \cdots + \underbrace{22 \ldots 20}_{n \text{ раз}}; \)

\( 10S_n + 2n = S_n — 2 + \underbrace{22 \ldots 2}_{n+1 \text{ раз}}; \)

\( 9S_n = \underbrace{22 \ldots 20}_{n \text{ раз}} — 2n = 20 \cdot \underbrace{99 \ldots 9}_{n \text{ раз}} \cdot \frac{1}{9} — 2n = \frac{20(10^n — 1)}{9} — 2n; \)

\( S_n = \frac{20(10^n — 1)}{81} — \frac{2n}{9} = \frac{20(10^n — 1) — 18n}{81}; \)

Ответ: \( \frac{20(10^n — 1) — 18n}{81}. \)

Задача: Найдите сумму первых \( n \) членов последовательности \( 2, 22, 222, \dots, \underbrace{22\cdots2}_{n \text{ раз}}, \dots \).

Решение:

Дана последовательность:

\( 2, \, 22, \, 222, \, \ldots, \, \underbrace{22 \ldots 2}_{n \text{ раз}}, \, \ldots;
\)

Сумма первых \( n \) членов последовательности будет выражаться как:

\( S_n = 2 + 22 + 222 + \cdots + \underbrace{22 \ldots 2}_{n \text{ раз}};
\)

Представим каждый элемент последовательности в виде суммы степеней 10, умноженных на 2. Например, второй член последовательности 22 можно записать как:

\( 22 = 2 \cdot 10 + 2.
\)

Третий член 222 можно записать как:

\( 222 = 2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 2.
\)

Таким образом, для общего \( k \)-го члена последовательности можно записать:

\( x_k = 2 \cdot (10^{k-1} + 10^{k-2} + \dots + 10^1 + 1).
\)

Это выражение можно упростить, используя формулу для суммы геометрической прогрессии. Получим:

\( x_k = 2 \cdot \frac{10^k — 1}{10 — 1} = \frac{2 \cdot (10^k — 1)}{9}.
\)

Теперь найдем сумму первых \( n \) членов последовательности. Сумма будет равна:

\( S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n.
\)

Подставим выражение для \( x_k \):

\( S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \cdot (10^k — 1)}{9}.
\)

Разделим сумму на две части:

\( S_n = \frac{2}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k — 1).
\)

Разделим на две суммы:

\( S_n = \frac{2}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k — \sum_{k=1}^{n} 1 \right).
\)

Первая сумма — это геометрическая прогрессия с первым членом 10 и разностью 10, а вторая — сумма из \( n \) единиц, то есть просто \( n \). Для первой суммы используем формулу суммы геометрической прогрессии:

\( \sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 \cdot \frac{10^n — 1}{10 — 1} = \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9}.
\)

Тогда сумма первых \( n \) членов последовательности будет:

\( S_n = \frac{2}{9} \left( \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} — n \right).
\)

Упростим выражение:

\( S_n = \frac{2}{9} \cdot \frac{10 \cdot (10^n — 1)}{9} — \frac{2n}{9}.
\)

Итак, окончательная формула для суммы первых \( n \) членов последовательности:

\( S_n = \frac{20(10^n — 1)}{81} — \frac{2n}{9}.
\)

Ответ:

\( S_n = \frac{20(10^n — 1) — 18n}{81}.
\)