ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1588 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что \( f(x) \) — линейная функция, а последовательность \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \) — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots, f(x_n), \dots \) также является арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия:

\( x_1, \, x_2, \, x_3, \, x_4, \, \ldots, \, x_n, \, \ldots; \)

\( f(x_1), \, f(x_2), \, \ldots, \, f(x_n), \, \ldots; \)

1) Разность этой прогрессии:

\( x_{n+1} = x_n + d, \quad x_{n+1} — x_n = d; \)

2) Разность соседних членов:

\( f(x_{n+1}) = kx_{n+1} + b, \quad f(x_n) = kx_n + b; \)

\( f(x_{n+1}) — f(x_n) = k(x_{n+1} — x_n) = kd; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Известно, что \( f(x) \) — линейная функция, а последовательность \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \) — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots, f(x_n), \dots \) также является арифметической прогрессией.

Решение:

Пусть последовательность \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \) является арифметической прогрессией. Это означает, что разность между любыми двумя последовательными членами этой последовательности постоянна. Обозначим разность арифметической прогрессии как \( d \). То есть для всех \( n \) выполняется следующее соотношение:

\( x_{n+1} = x_n + d.
\)

Теперь рассмотрим последовательность \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots, f(x_n), \dots \), где \( f(x) \) — линейная функция, то есть \( f(x) = kx + b \), где \( k \) и \( b \) — некоторые константы.

Нам нужно доказать, что последовательность \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots \) также является арифметической прогрессией. Для этого нужно показать, что разность между любыми двумя соседними членами этой последовательности постоянна.

1) Разность последовательности \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \):

Для арифметической прогрессии разность между соседними членами последовательности постоянна, то есть:

\( x_{n+1} — x_n = d.
\)

2) Разность соседних членов последовательности \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots, f(x_n), \dots \):

Теперь рассчитаем разность между соседними членами последовательности \( f(x_n) \). Для этого используем линейную функцию \( f(x) = kx + b \). Таким образом, разность между \( f(x_{n+1}) \) и \( f(x_n) \) будет равна:

\( f(x_{n+1}) = kx_{n+1} + b, \quad f(x_n) = kx_n + b.
\)

Теперь вычитаем \( f(x_n) \) из \( f(x_{n+1}) \):

\( f(x_{n+1}) — f(x_n) = (kx_{n+1} + b) — (kx_n + b) = k(x_{n+1} — x_n).
\)

Так как \( x_{n+1} — x_n = d \), то получаем:

\( f(x_{n+1}) — f(x_n) = k \cdot d.
\)

Это означает, что разность между соседними членами последовательности \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots \) постоянна и равна \( kd \). Таким образом, последовательность \( f(x_1), f(x_2), f(x_3), \dots \) является арифметической прогрессией, как и требовалось доказать.