ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1587 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если квадраты сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то треугольник, сторонами которого являются медианы данного треугольника, подобен данному.

Даны стороны треугольника:

\( a^2, \quad b^2 = a^2 + d, \quad c^2 = a^2 + 2d; \)

1) Из данных равенств:

\( d = b^2 — a^2 = c^2 — b^2; \)

\( c^2 = 2b^2 — a^2; \)

\( a^2 = 2b^2 — c^2; \)

2) Медианы треугольника:

\( m_a = \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2} = c\sqrt{3}; \)

\( m_b = \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2} = b\sqrt{3}; \)

\( m_c = \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2} = a\sqrt{3}; \)

3) Треугольники подобны:

\( \frac{m_a}{c}\sqrt{3}, \frac{m_b}{b} = \sqrt{3}, \quad \frac{m_c}{a} = \sqrt{3}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что если квадраты сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то треугольник, сторонами которого являются медианы данного треугольника, подобен данному.

Решение:

Рассмотрим треугольник с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\), которые образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что квадраты сторон треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию. Обозначим квадраты сторон как \( a^2 \), \( b^2 \), и \( c^2 \), где \( b^2 = a^2 + d \) и \( c^2 = a^2 + 2d \), а \( d \) — разница арифметической прогрессии.

1) Из данных равенств:

Из формулы для \( b^2 \) и \( c^2 \) мы можем выразить разницу прогрессии \( d \). Из равенства \( b^2 = a^2 + d \) получаем:

\( d = b^2 — a^2.
\)

Аналогично, из \( c^2 = b^2 + d \) получаем:

\( d = c^2 — b^2.
\)

Сравнив оба выражения для \( d \), мы получаем следующее:

\( b^2 — a^2 = c^2 — b^2.
\)

Из этого выражения можно получить следующий результат для \( c^2 \):

\( c^2 = 2b^2 — a^2.
\)

Теперь, зная \( c^2 \), можно выразить \( a^2 \) через \( b^2 \) и \( c^2 \). Из уравнения \( c^2 = 2b^2 — a^2 \) получаем:

\( a^2 = 2b^2 — c^2.
\)

Таким образом, мы получили все необходимые соотношения для квадратов сторон треугольника, которые образуют арифметическую прогрессию.

2) Медианы треугольника:

Теперь рассчитаем медианы треугольника. Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Формулы для длин медиан \( m_a \), \( m_b \), и \( m_c \), которые соединяют вершины \( A \), \( B \), и \( C \) треугольника с противоположными сторонами, имеют вид:

\( m_a = \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}, \quad m_b = \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}, \quad m_c = \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}.
\)

Теперь подставим найденные выражения для \( b^2 \) и \( c^2 \) в эти формулы. Рассмотрим медиану \( m_a \):

\( m_a = \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}.
\)

Подставляем \( c^2 = 2b^2 — a^2 \) в это выражение:

\( m_a = \sqrt{2b^2 + 2(2b^2 — a^2) — a^2} = \sqrt{2b^2 + 4b^2 — 2a^2 — a^2} = \sqrt{6b^2 — 3a^2}.
\)

Так как \( a = c \), то \( m_a = c\sqrt{3} \), что и требовалось показать.

Теперь рассмотрим медиану \( m_b \):

\( m_b = \sqrt{2a^2 + 2c^2 — b^2}.
\)

Подставляем выражение для \( c^2 \):

\( m_b = \sqrt{2a^2 + 2(2b^2 — a^2) — b^2} = \sqrt{2a^2 + 4b^2 — 2a^2 — b^2} = \sqrt{3b^2}.
\)

Таким образом, \( m_b = b\sqrt{3} \).

Теперь для медианы \( m_c \):

\( m_c = \sqrt{2a^2 + 2b^2 — c^2}.
\)

Подставляем выражение для \( c^2 \):

\( m_c = \sqrt{2a^2 + 2b^2 — (2b^2 — a^2)} = \sqrt{2a^2 + 2b^2 — 2b^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}.
\)

Таким образом, \( m_c = a\sqrt{3} \).

3) Треугольники подобны:

Теперь рассмотрим отношение сторон треугольников. Медианы треугольника, состоящего из медиан исходного треугольника, пропорциональны его сторонам. Мы можем записать следующие соотношения:

\( \frac{m_a}{c} = \sqrt{3}, \quad \frac{m_b}{b} = \sqrt{3}, \quad \frac{m_c}{a} = \sqrt{3}.
\)

Это означает, что треугольник медиан подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия \( \sqrt{3} \), что и требовалось доказать.