ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1586 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три различных целых числа, сумма которых равна —3, составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

В геометрической прогрессии:

\( b_1, \, b_2, \, b_3, \, b_1 + b_2 + b_3 = -3; \)

1) Из данного уравнения:

\( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = -3; \)

\( b_1(1 + q + q^2) = -3; \)

\( q^2 + q + 1 + \frac{3}{b_1} = 0; \)

\( D = 1^2 — 4\left(1 + \frac{3}{b_1}\right); \)

\( D = 1 — 4 — \frac{12}{b_1} = -3 — \frac{12}{b_1}; \)

2) Даны целые числа:

\( -3 — \frac{12}{b_1} \geq 0, \quad 1 + \frac{4}{b_1} \leq 0; \)

\( \frac{b_1 + 4}{b_1} \leq 0, \quad -4 \leq b_1 < 0; \)

3) Первое значение:

\( q^2 + q + 1 — \frac{3}{4} = 0; \)

\( q^2 + q + \frac{1}{4} = 0; \)

\( \left(q + \frac{1}{2}\right)^2 = 0, \quad q = -\frac{1}{2}; \)

\( b_1 = -4, \quad b_2 = 2, \quad b_3 = -1; \)

4) Второе значение:

\( q^2 + q + 1 — 1 = 0; \)

\( q^2 + q = 0; \)

\( q(q + 1) = 0; \)

\( q = -1, \quad q = 0; \)

5) Третье значение:

\( q^2 + q + 1 — \frac{3}{2} = 0; \)

\( q^2 + q — \frac{1}{2} = 0; \)

\( 2q^2 + 2q — 1 = 0; \)

\( D = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8; \)

\( D = 12 \neq k^2, \quad k \in \mathbb{N}; \)

6) Четвертое значение:

\( q^2 + q + 1 — 3 = 0; \)

\( q^2 + q — 2 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8; \)

\( D = 9, \text{ тогда:} \)

\( q_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad q_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1; \)

\( b_1 = -1, \quad b_2 = 2, \quad b_3 = -4; \)

Ответ: \(-4; 2; -1\) или \(-1; 2; -4\).

Задача: Три различных целых числа, сумма которых равна —3, составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим три числа геометрической прогрессии как \( b_1 \), \( b_2 \), \( b_3 \), где \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), а \( q \) — коэффициент прогрессии. Составим уравнение для суммы этих чисел:

\( b_1 + b_2 + b_3 = -3,
\)

Подставим выражения для \( b_2 \) и \( b_3 \):

\( b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = -3.
\)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1(1 + q + q^2) = -3.
\)

Разделим обе части уравнения на \( (1 + q + q^2) \), при условии, что \( 1 + q + q^2 \neq 0 \), получаем:

\( b_1 = \frac{-3}{1 + q + q^2}.
\)

Теперь нужно найти такие значения \( q \) и \( b_1 \), которые удовлетворяют этому уравнению и приводят к целым числам \( b_1 \), \( b_2 \), и \( b_3 \). Для этого рассмотрим дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

\( q^2 + q + 1 + \frac{3}{b_1} = 0.
\)

Для решения этого уравнения нужно найти дискриминант. Мы выразим его как:

\( D = 1^2 — 4 \left( 1 + \frac{3}{b_1} \right),
\)

Раскроем скобки:

\( D = 1 — 4 — \frac{12}{b_1} = -3 — \frac{12}{b_1}.
\)

Теперь рассмотрим систему неравенств, которая ограничивает значения \( b_1 \). Из полученной формулы \( D \) видно, что для того, чтобы квадратное уравнение имело решение, дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно, нужно решить следующее неравенство:

\( -3 — \frac{12}{b_1} \geq 0.
\)

Решим это неравенство относительно \( b_1 \):

\( -\frac{12}{b_1} \geq 3, \quad b_1 \leq -4.
\)

Следовательно, \( b_1 \) должно быть отрицательным числом и должно удовлетворять неравенству \( b_1 \leq -4 \).

Теперь рассмотрим второе неравенство:

\( 1 + \frac{4}{b_1} \leq 0.
\)

Решаем его относительно \( b_1 \):

\( \frac{4}{b_1} \leq -1, \quad b_1 \geq -4.
\)

Таким образом, для \( b_1 \) выполняется неравенство \( -4 \leq b_1 < 0 \). Мы рассмотрим значения \( b_1 \), которые удовлетворяют этому неравенству.

1) Первое значение:

Для \( b_1 = -4 \) подставим это значение в уравнение для прогрессии:

\( q^2 + q + 1 — \frac{3}{4} = 0.
\)

Преобразуем уравнение:

\( q^2 + q + \frac{1}{4} = 0.
\)

Теперь применим формулу полного квадрата:

\( \left( q + \frac{1}{2} \right)^2 = 0.
\)

Отсюда получаем решение для \( q \):

\( q = -\frac{1}{2}.
\)

Теперь можем найти значения \( b_2 \) и \( b_3 \):

\( b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2, \quad b_3 = b_1 \cdot q^2 = -4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = -1.
\)

Таким образом, числа прогрессии: \( -4, 2, -1 \).

2) Второе значение:

Теперь рассмотрим второй случай, когда мы решаем уравнение для \( q \):

\( q^2 + q + 1 — 1 = 0, \quad q^2 + q = 0, \quad q(q + 1) = 0.
\)

Решаем это уравнение:

\( q = 0, \quad q = -1.
\)

Если \( q = -1 \), то прогрессия будет следующей:

\( b_1 = -4, \quad b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot (-1) = 4, \quad b_3 = b_1 \cdot q^2 = -4 \cdot 1 = -4.
\)

Однако это не соответствует условию задачи (числа должны быть различными). Следовательно, для этого случая прогрессия не подходит.

3) Третье значение:

Для уравнения:

\( q^2 + q + 1 — \frac{3}{2} = 0, \quad q^2 + q — \frac{1}{2} = 0, \quad 2q^2 + 2q — 1 = 0.
\)

Находим дискриминант этого уравнения:

\( D = 4 + 8 = 12, \quad D \neq k^2, \quad k \in \mathbb{N}.
\)

Это уравнение не имеет целых решений.

4) Четвертое значение:

Для уравнения:

\( q^2 + q + 1 — 3 = 0, \quad q^2 + q — 2 = 0.
\)

Находим дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9, \quad q_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad q_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Теперь можем найти значения прогрессии:

\( b_1 = -1, \quad b_2 = 2, \quad b_3 = -4.
\)

Ответ:

Числа геометрической прогрессии: \( -4; 2; -1 \) или \( -1; 2; -4 \).