ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1585 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пусть \( (x_n) \) — арифметическая прогрессия, в которой \( x_p = a \), \( x_m = b \), \( x_k = c \). Докажите, что

\[
(m — k)a + (k — p)b + (p — m)c = 0.
\]

Арифметическая прогрессия:

\( x_p = a, \quad x_m = b, \quad x_k = c; \)

1) Из данных равенств:

\( x_p = x_1 + pd — d = a; \)

\( x_m = x_1 + md — d = b; \)

\( x_k = x_1 + kd — d = c; \)

2) Выразим разности:

\( b — c = (m — k)d; \)

\( c — a = (k — p)d; \)

\( a — b = (p — m)d; \)

3) Докажем тождество:

\( (m — k)a + (k — p)b + (p — m)c = 0; \)

\( (b — c)ad + (c — a)bd + (a — b)cd = 0; \)

\( d(ab — ac + bc — ab + ac — bc) = 0; \)

\( d \cdot 0 = 0, \quad 0 = 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Пусть \( (x_n) \) — арифметическая прогрессия, в которой \( x_p = a \), \( x_m = b \), \( x_k = c \). Докажите, что

\[
(m — k)a + (k — p)b + (p — m)c = 0.
\]

Решение:

Шаг 1: Представление членов прогрессии через первый член и разность

Пусть разность арифметической прогрессии равна \( d \), тогда:

Для \( x_p = a \): \( x_p = x_1 + pd \), где \( x_1 \) — первый член прогрессии.

Для \( x_m = b \): \( x_m = x_1 + md \).

Для \( x_k = c \): \( x_k = x_1 + kd \).

Мы знаем, что \( x_p = a \), \( x_m = b \), \( x_k = c \), то есть:

\( a = x_1 + pd \),

\( b = x_1 + md \),

\( c = x_1 + kd \).

Шаг 2: Выражаем разности

Теперь найдем разности:

\( b — c = (m — k)d \),

\( c — a = (k — p)d \),

\( a — b = (p — m)d \).

Шаг 3: Доказательство тождества

Теперь доказательство самого тождества:

\[
(m — k)a + (k — p)b + (p — m)c.
\]
Подставим из шагов 1 и 2, используя выражения для разностей и замены для \( a \), \( b \), и \( c \):

\[
(b — c)a + (c — a)b + (a — b)c = (m — k)a + (k — p)b + (p — m)c.
\]

После подстановки и упрощения:

\[
d \cdot \left( ab — ac + bc — ab + ac — bc \right) = 0.
\]

Смотрим, что все выражения в скобках сократятся:

\[
d \cdot 0 = 0.
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
0 = 0.
\]

Это и требовалось доказать!