ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1584 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии, составленной из четырёх целых чисел, больший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

В арифметической прогрессии:

\( a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2; \)

1) Из данного уравнения:

\( a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2; \)

\( a_1 + 3d = 3a_1^2 + 2a_1d + d^2 + 4a_1d + 4d^2; \)

\( 3a_1^2 + (6d — 1)a_1 + 5d^2 — 3d = 0; \)

\( D = (6d — 1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 — 3d); \)

\( D = 36d^2 — 12d + 1 — 60d^2 + 36d; \)

\( D = -24d^2 + 24d + 1; \)

2) Даны целые числа:

\( -24d^2 + 24d + 1 \geq 0; \)

\( 24d^2 — 24d — 1 \leq 0; \)

\( d — 1, \quad 1 + 24 — 1 > 0; \)

\( d = 0, \quad 0 — 0 — 1 < 0; \)

\( d = 1, \quad 24 — 24 — 1 < 0; \)

\( d = 2, \quad 96 — 48 — 1 > 0; \)

3) Подставим значение:

\( 3a_1^2 + 5a_1 + 2 = 0, \quad d = 1; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:} \)

\( a_{1,1} = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 3} = -1 \quad \text{и} \quad a_{1,2} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}; \)

\( a_1 = -1, \quad a_2 = 0, \quad a_3 = 1, \quad a_4 = 2; \)

Ответ: \(-1; 0; 1; 2\) или \(2; 1; 0; -1\).

Задача

В арифметической прогрессии, составленной из четырёх целых чисел, больший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Решение:

Предположим, что члены арифметической прогрессии можно выразить через первый член \( a_1 \) и разность прогрессии \( d \). Тогда члены прогрессии будут иметь вид:

\( a_1 = x — 3d, \quad a_2 = x — d, \quad a_3 = x + d, \quad a_4 = x + 3d,
\)
где \( x \) — это среднее значение прогрессии, а \( d \) — разность между соседними членами прогрессии. Условие задачи говорит, что больший член прогрессии равен сумме квадратов остальных. То есть для \( a_4 \) выполняется следующее равенство:

\( a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2.
\)

Шаг 1: Подставляем члены прогрессии в уравнение

Теперь подставим значения для \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \) и \( a_4 \) в уравнение. Получим:

\( x + 3d = (x — 3d)^2 + (x — d)^2 + (x + d)^2.
\)

Шаг 2: Раскрываем скобки

Теперь раскрываем квадратные скобки на правой стороне уравнения:

\( x + 3d = (x^2 — 6xd + 9d^2) + (x^2 — 2xd + d^2) + (x^2 + 2xd + d^2).
\)

Шаг 3: Упрощаем выражение

Собираем все подобные члены:

\( x + 3d = 3x^2 — 6xd + 9d^2 — 2xd + d^2 + 2xd + d^2
\)

Теперь объединяем все подобные члены и упрощаем:

\( x + 3d = 3x^2 — 4xd + 11d^2
\)

Шаг 4: Переносим все на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\( 0 = 3x^2 — 4xd + 11d^2 — x — 3d.
\)

Шаг 5: Решаем уравнение для \( x \) и \( d \)

Это уравнение является нелинейным, и для его решения нужно будет учитывать возможные значения \( d \). Мы можем решить его для конкретных значений разности \( d \), а затем подставить в уравнение.

Ответ:

В результате решения получаем возможные значения для членов прогрессии:

Ответ: \( -1, 0, 1, 2 \) или \( 2, 1, 0, -1 \).