ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1583 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений с параметрами \( a \) и \( b \):

а)
\[
\begin{cases}
x + y = a, \\
\frac{x}{b — y} + \frac{b — y}{x} = \frac{5}{2}.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{ax + b}{y} = 2, \\
\frac{b}{x} + ay = 2ab.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} x + y = a \\ \frac{x}{b — y} + \frac{b — y}{x} = \frac{5}{2} \end{cases}\);

Пусть \( z = \frac{x}{b — y} \), тогда:

\( z + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}; \)

\( 2z^2 — 5z + 2 = 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:} \)

\( z_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2; \)

Первое значение:

\( \frac{x}{b — y} = \frac{1}{2}, \quad x + y = a; \)

\( 2x = b — y, \quad y = a — x; \)

\( 2x = b — a + x; \)

\( x = b — a, \quad y = 2a — b; \)

Второе значение:

\( \frac{x}{b — y} = 2, \quad x + y = a; \)

\( x = 2b — 2y, \quad x = a — y; \)

\( a — y = 2b — 2y; \)

\( y = 2b — a, \quad x = 2a — 2b; \)

Ответ: \((b — a; 2a — b)\) при \( a \neq b\);

\((2a — 2b; 2b — a)\) при \( a \neq b\);

решений нет при \( a = b\).

б) \(\begin{cases} \frac{ax + b}{y} = 2 \\ \frac{b}{x} + ay = 2ab \end{cases}\);

Первое уравнение:

\( ax + b = 2y; \)

Второе уравнение:

\( \frac{b + axy}{x} = 2ab; \)

\( axy + b = 2abx; \)

Найдем значение:

\( 2y = 2abx; \)

\( y = abx; \)

Первое уравнение:

\( ax \cdot abx + b = 2abx; \)

\( a^2bx^2 — 2abx + b = 0; \)

\( a^2x^2 — 2ax + 1 = 0; \)

Ответ: \(\left(\frac{1}{a}; b\right)\) при \( ab \neq 0\);

решений нет при \( ab = 0\).

Задача 1

Решите систему уравнений с параметрами \( a \) и \( b \):

а)

\[
\begin{cases}
x + y = a, \\
\frac{x}{b — y} + \frac{b — y}{x} = \frac{5}{2}.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Введем обозначение \( z = \frac{x}{b — y} \), тогда:

\[
z + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}.
\]

2. Умножим обе части на \( z \), чтобы избавиться от дроби:

\[
z^2 + 1 = \frac{5}{2}z.
\]

3. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
2z^2 + 2 = 5z.
\]

4. Переносим все на одну сторону:

\[
2z^2 — 5z + 2 = 0.
\]

5. Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.
\]

6. Корни уравнения:

\[
z_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad z_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.
\]

Теперь рассмотрим каждое из значений для \( z \):

Первое значение \( z = \frac{1}{2} \):

Из выражения \( \frac{x}{b — y} = \frac{1}{2} \) получаем:

\[
x + y = a \quad \text{и} \quad 2x = b — y \quad \text{или} \quad y = a — x.
\]

Подставляем \( y = a — x \) в \( 2x = b — y \):

\[
2x = b — (a — x) = b — a + x,
\]

\[
2x — x = b — a,
\]

\[
x = b — a, \quad y = 2a — b.
\]

Таким образом, одна пара решений:

\[
(x, y) = (b — a, 2a — b).
\]

Второе значение \( z = 2 \):

Из выражения \( \frac{x}{b — y} = 2 \) получаем:

\[
x + y = a \quad \text{и} \quad x = 2(b — y) \quad \text{или} \quad x = a — y.
\]

Подставляем \( x = a — y \) в \( x = 2(b — y) \):
\[
a — y = 2(b — y),
\]

\[
a — y = 2b — 2y,
\]

\[
a = 2b — y,
\]

\[
y = 2b — a, \quad x = 2a — 2b.
\]

Таким образом, вторая пара решений:

\[
(x, y) = (2a — 2b, 2b — a).
\]

Ответ: \( (b — a; 2a — b) \) при \( a \neq b \); \( (2a — 2b; 2b — a) \) при \( a \neq b \); решений нет при \( a = b \).

б)

\[
\begin{cases}
\frac{ax + b}{y} = 2, \\
\frac{b}{x} + ay = 2ab.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения:

\[
ax + b = 2y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{ax + b}{2}.
\]

2. Подставляем это в второе уравнение:

\[
\frac{b}{x} + a \cdot \frac{ax + b}{2} = 2ab.
\]

3. Умножаем на 2 для упрощения:

\[
\frac{2b}{x} + a(ax + b) = 4ab.
\]

4. Раскрываем скобки:

\[
\frac{2b}{x} + a^2x + ab = 4ab.
\]

5. Переносим все на одну сторону:

\[
\frac{2b}{x} + a^2x — 3ab = 0.
\]

6. Умножаем на \( x \), чтобы избавиться от дроби:

\[
2b + a^2x^2 — 3abx = 0.
\]

Это квадратное уравнение относительно \( x \):

\[
a^2x^2 — 3abx + 2b = 0.
\]

7. Рассчитываем дискриминант:

\[
D = (-3ab)^2 — 4 \cdot a^2 \cdot 2b = 9a^2b^2 — 8a^2b = a^2b(9b — 8).
\]

8. Для решения уравнения дискриминант должен быть больше или равен нулю, то есть:

\[
a^2b(9b — 8) \geq 0.
\]

Это неравенство выполняется, когда:

\[
b \geq \frac{8}{9}.
\]

9. Решаем квадратное уравнение для \( x \) и \( y \), где \( b \geq \frac{8}{9} \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{a}; b\right) \) при \( ab \neq 0 \); решений нет при \( ab = 0 \).