ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1582 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений с параметром \( a \):

а)
\[
\begin{cases}
1 + \frac{xy}{a + 1} = a^2, \\
x + y = ay.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{x — y}{a + 1} — a = 0, \\
x — y^2 = 0.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} 1 + \frac{xy}{a + 1} = a^2 \\ x + y = ay \end{cases}\);

Второе уравнение:

\( x = y(a — 1); \)

Первое уравнение:

\( 1 + \frac{y^2(a — 1)}{a + 1} = a^2; \)

\( \frac{y^2(a — 1)}{a + 1} = a^2 — 1; \)

\( y^2 = (a + 1)^2, \quad a \neq 1; \)

\( y_1 = -(a + 1), \quad y_2 = a + 1; \)

\( x_1 = 1 — a^2, \quad x_2 = a^2 — 1; \)

Ответ: \((a^2 — 1; a + 1)\) при \( a \neq \pm 1\);

\((1 — a^2; -a — 1)\) при \( a \neq \pm 1\);

\((0; k), k \in \mathbb{R}\) при \( a = 1\);

решений нет при \( a = -1\).

б) \(\begin{cases} \frac{x — y}{a + 1} — a = 0 \\ x — y^2 = 0 \end{cases}\);

Второе уравнение:

\( x — y^2 = 0, \quad x = y^2; \)

Первое уравнение:

\( \frac{y^2 — y}{a + 1} = a; \)

\( y^2 — y — (a^2 + a) = 0; \)

\( D = 1^2 + 4(a^2 + a) = 1 + 4a^2 + 4a = (2a + 1)^2, \text{ тогда:} \)

\( y_1 = \frac{1 — (2a + 1)}{2} = -a \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + (2a + 1)}{2} = a + 1; \)

\( x_1 = (-a)^2 = a^2 \quad \text{и} \quad x_2 = (a + 1)^2; \)

Ответ: \((a^2; -a)\) при \( a \neq -1\);

\(((a + 1)^2; a + 1)\) при \( a \neq -1\);

решений нет при \( a = -1\).

Задача

Решите систему уравнений с параметром \( a \):

а)

\[
\begin{cases}
1 + \frac{xy}{a + 1} = a^2, \\
x + y = ay.
\end{cases}
\]

Решение:

Первое уравнение:

\[
1 + \frac{xy}{a + 1} = a^2.
\]

Умножим обе стороны на \( a + 1 \) для устранения дроби:
\[
(a + 1) + xy = a^2(a + 1).
\]

Упростим правую часть:
\[
a + 1 + xy = a^3 + a^2.
\]

Переносим \( a + 1 \) на правую сторону:
\[
xy = a^3 + a^2 — a — 1.
\]

Это уравнение для \( xy \), которое будем использовать в дальнейшем.

Второе уравнение:

\[
x + y = ay.
\]

Переносим все выражения с \( y \) на правую сторону:
\[
x = y(a — 1).
\]

Подставляем это значение \( x \) в первое уравнение.

Теперь подставим \( x = y(a — 1) \) в уравнение \( 1 + \frac{xy}{a + 1} = a^2 \):

\[
1 + \frac{y \cdot y(a — 1)}{a + 1} = a^2.
\]

Упростим это уравнение:
\[
1 + \frac{y^2(a — 1)}{a + 1} = a^2.
\]

Теперь вычитаем 1 с обеих сторон:
\[
\frac{y^2(a — 1)}{a + 1} = a^2 — 1.
\]

Умножаем обе стороны на \( a + 1 \):
\[
y^2(a — 1) = (a^2 — 1)(a + 1).
\]

Упрощаем правую часть:
\[
y^2(a — 1) = (a^2 — 1)(a + 1) = a^3 + a^2 — a — 1.
\]

Таким образом, получаем:
\[
y^2 = (a + 1)^2.
\]

Таким образом, \( y = \pm (a + 1) \).

Теперь подставим \( y = \pm (a + 1) \) в уравнение \( x = y(a — 1) \), получим:

\[
x = \pm (a + 1)(a — 1).
\]

Это упрощается до:
\[
x = \pm (a^2 — 1).
\]

Ответ: \( (a^2 — 1; a + 1) \) при \( a \neq \pm 1 \); \( (1 — a^2; -a — 1) \) при \( a \neq \pm 1 \); \( (0; k), k \in \mathbb{R} \) при \( a = 1 \); решений нет при \( a = -1 \).

б)

\[
\begin{cases}
\frac{x — y}{a + 1} — a = 0, \\
x — y^2 = 0.
\end{cases}
\]

Решение:

Первое уравнение:

\[
\frac{x — y}{a + 1} — a = 0.
\]

Переносим \( a \) на правую сторону:
\[
\frac{x — y}{a + 1} = a.
\]

Умножаем обе стороны на \( a + 1 \):
\[
x — y = a(a + 1).
\]

Второе уравнение:

\[
x — y^2 = 0, \quad x = y^2.
\]

Подставляем это в первое уравнение:
\[
y^2 — y = a(a + 1).
\]

Упрощаем:
\[
y^2 — y — (a^2 + a) = 0.
\]

Решаем это квадратное уравнение относительно \( y \). Для этого вычислим дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(a^2 + a)) = 1 + 4a^2 + 4a = (2a + 1)^2.
\]

Таким образом, корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{1 — (2a + 1)}{2} = -a \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + (2a + 1)}{2} = a + 1.
\]

Теперь находим соответствующие значения для \( x \):

\[
x_1 = (-a)^2 = a^2 \quad \text{и} \quad x_2 = (a + 1)^2.
\]

Ответ: \( (a^2; -a) \) при \( a \neq -1 \); \( ((a + 1)^2; a + 1) \) при \( a \neq -1 \); решений нет при \( a = -1 \).